Élémentaire proofEdit
Supposons que P(p/q) = 0 pour certains premiers p, q ∈ ℤ:
P ( p q ) = n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + 1 ( p, q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
Pour effacer les dénominateurs,
n p n + a n − 1 p n − 1 q + ⋯ + 1 p q n − 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.,}
Déplaçant le terme a0 pour le côté droit et la factorisation de p sur le côté gauche produit:
p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + 1 q n − 1 ) = − a 0 q n . {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
ainsi, p divise a0qn. Mais p est coprime à q et donc à qn, donc par le lemme D’Euclide p doit diviser le facteur a0 restant.
d’autre part, un décalage de un terme à la droite et à l’affacturage out q sur le côté gauche produit:
q ( n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + 0 q n − 1 ) = − a n p n ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
en raisonnant comme avant, il s’ensuit que q divise an.
preuve en utilisant le lemme de Gaussmodifier
S’il y a un facteur non trivial divisant tous les coefficients du polynôme, alors on peut diviser par le plus grand diviseur commun des coefficients de manière à obtenir un polynôme primitif au sens du lemme de Gauss; cela ne modifie pas l’ensemble des racines rationnelles et ne, Ce lemme dit que si le polynôme factorise En Q, alors il factorise aussi en Z en tant que produit de polynômes primitifs. Maintenant, toute racine rationnelle P / q correspond à un facteur de degré 1 Dans Q du polynôme, et son représentant primitif est alors qx − p, en supposant que p et q sont coprimes. Mais tout multiple dans Z de qx-p a le terme principal divisible par q et le terme constant divisible par p, Ce qui prouve l’énoncé., Cet argument montre que plus généralement, tout facteur irréductible de P peut être supposé avoir des coefficients entiers, et des coefficients principaux et constants divisant les coefficients correspondants de P.