tous les polygones simples réguliers (un polygone simple est un polygone qui ne se croise nulle part) sont convexes. Ceux ayant le même nombre de côtés sont également similaires.

un polygone régulier convexe à n côtés est désigné par son symbole de Schläfli {n}. Pour n < 3, nous avons deux cas dégénérés:

Monogon {1} dégénéré dans l’espace ordinaire. (La plupart des autorités ne considèrent pas le monogon comme un véritable polygone, en partie à cause de cela, et aussi parce que les formules ci-dessous ne fonctionnent pas, et sa structure n’est pas celle d’un polygone abstrait.,) Digon {2}; un « segment de ligne double » dégénère dans l’espace ordinaire. (Certaines autorités ne considèrent pas le digon comme un véritable polygone à cause de cela.)

dans certains contextes, tous les polygones considérés seront réguliers. Dans de telles circonstances, il est d’usage de laisser tomber le préfixe regular. Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être régulières et les faces seront décrites simplement comme triangle, carré, Pentagone, etc.,

AnglesEdit

Pour un régulier convexe de n-gone, chaque angle intérieur a une mesure de l’:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} degrés; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radians; ou ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} tours,

Comme n approche de l’infini, l’angle interne des approches de 180 degrés. Pour un polygone régulier de 10 000 côtés (un myriagon), l’angle interne est de 179,964°. À mesure que le nombre de côtés augmente, l’angle interne peut se rapprocher de 180° et la forme du polygone se rapproche de celle d’un cercle., Cependant, le polygone ne peut jamais devenir un cercle. La valeur de l’angle interne ne peut jamais devenir exactement égale à 180°, car la circonférence deviendrait effectivement une ligne droite. Pour cette raison, un cercle n’est pas un polygone d’un nombre infini de côtés.

DiagonalsEdit

pour un n-gon régulier inscrit dans un cercle de rayon unitaire, le produit des distances d’un sommet donné à tous les autres sommets (y compris les sommets adjacents et les sommets reliés par une diagonale) est égal à N.,

Points dans le planeEdit

pour un n-gon simple régulier avec circumradius R et des distances di d’un point arbitraire dans le plan aux sommets, nous avons

∑ i = 1 n d I 4 n + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

et

S n ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + eau k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S n ( 4 ) − ( S n ( 2 ) ) 2 )) k ( S n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

où m {\displaystyle m} est un entier positif inférieur à n {\displaystyle n} .,

Si L {\displaystyle L} est la distance à partir d’un point arbitraire dans l’avion direction le centre de gravité de régulier n {\displaystyle n} -gon avec le cercle circonscrit R {\displaystyle R} , alors

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+C^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+C^{2})^{m-2k})} ,

où m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Interior pointsEdit

pour un n-gon régulier, la somme des distances perpendiculaires de tout point intérieur aux n côtés est n fois l’apothème:p. 72 (l’apothème étant la distance du centre à n’importe quel côté). C’est une généralisation du théorème de Viviani pour le cas n=3.,la ligne verte montre le cas n = 6

Le circumradius R du centre d’un polygone régulier à l’un des sommets est lié à la longueur latérale s ou à l’apothème a par

R = s 2 sin ((π n ) = a cos Co (π n ) {\displaystyle R={\frac {S}{2\sin \left ({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left ({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

pour les polygones constructibles, il existe des expressions algébriques pour ces relations; voir polygone bicentrique#polygones réguliers.,

la somme des perpendiculaires des sommets d’un n-gon régulier à toute droite tangente au circumcircle est égale à n fois le circumradius.: p. 73

la somme des distances au carré entre les sommets d’un n-gon régulier et n’importe quel point de son circumcircle est égale à 2nr2 où R est le circumradius.: p. 73

la somme des distances carrées entre les points médians des côtés d’un n-gon régulier et n’importe quel point du cercle est 2nR2 − ns2/4, où s est la longueur du côté et R est le circumradius.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter indique que chaque zonogon (un 2m-gon dont les côtés opposés sont parallèles et de longueur égale) peut être disséqué en ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} ou en parallélogrammes m(m-1)/2.Ces tuiles sont contenues sous forme de sous-ensembles de Sommets, d’arêtes et de faces dans des projections orthogonales m-cubes.,En particulier, cela est vrai pour les polygones réguliers avec de nombreux côtés uniformément, auquel cas les parallélogrammes sont tous des losanges.La liste OEIS: A006245 donne le nombre de solutions pour les polygones plus petits.,f convexe régulier de n-sided polygone ayant côté s, cercle circonscrit R, apothem un, et le périmètre p est donnée par

A = 1 2 n s a = 1 2 p a = 1 4 n s 2 lit ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}n^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

De tous les n-gones avec un périmètre donné, l’un avec la plus grande surface est régulière.