(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Si les ondes voyagent avec la vitesse v le long de la chaîne, alors de manière équivalente la fréquence des ondes stationnaires est limitée à

F = v λ = n V 2 L. {\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}

L’onde stationnaire avec n = 1 oscille à la fréquence fondamentale et a une longueur d’onde qui est deux fois la longueur de la chaîne. Les valeurs entières supérieures de n correspondent à des modes d’oscillation appelés harmoniques ou harmoniques. Toute onde stationnaire sur la chaîne aura n + 1 nœuds, y compris les extrémités fixes et n anti-nœuds.,

pour comparer les nœuds de cet exemple à la description des nœuds pour les ondes stationnaires dans la chaîne de longueur infinie, notez que L’équation (2) peut être réécrite comme

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6, \ ldots}

dans cette variation de l’expression pour la longueur d’onde, n doit être pair., Croix multipliant, nous voyons que parce que L est un nœud, il est un multiple d’un quart de longueur d’onde,

L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

Cet exemple montre un type de résonance et les fréquences qui produisent des ondes stationnaires peuvent être appelées fréquences de résonance.

onde stationnaire sur une chaîne avec une extrémité fixedit

ensuite, considérons la même chaîne de longueur L, mais cette fois elle n’est fixée qu’à x = 0. À x = L, la chaîne est libre de se déplacer dans la direction Y., Par exemple, la chaîne peut être attachée à x = L à un anneau qui peut glisser librement de haut en bas d’un poteau. La chaîne a encore un petit amortissement et est entraînée par une petite force motrice à x = 0.

dans ce cas, L’équation (1) décrit toujours le motif d’onde stationnaire qui peut se former sur la chaîne, et la chaîne a la même condition aux limites de y = 0 à x = 0. Cependant, à x = L où la chaîne peut se déplacer librement, il devrait y avoir un anti-nœud avec une amplitude maximale de Y. en examinant L’équation (1), pour x = L, la plus grande amplitude de y se produit lorsque

sin ⁡ ( 2 π l λ) = 1., {\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=1.}

cela conduit à un ensemble de longueurs d’onde différent de celui de l’exemple à deux extrémités fixes. Ici, la longueur d’onde des ondes stationnaires est limitée à

λ = 4, L, n,, {\displaystyle \lambda ={\frac {4}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }

de manière Équivalente, la fréquence est limitée à

f = n v 4 .L. {\displaystyle f={\frac {nv}{4}}.}

Notez que dans cet exemple n ne prend que des valeurs bizarres. Parce que L est un anti-nœud, c’est un multiple Impair d’un quart de longueur d’onde., Ainsi, le mode fondamental dans cet exemple n’a qu’un quart de compléter sine cycle de zéro à x = 0 et le premier pic à x = L–la première harmonique a trois quarts d’un sinus cycle, et ainsi de suite.

Cet exemple montre également un type de résonance et les fréquences qui produisent des ondes stationnaires sont appelées fréquences de résonance.

onde stationnaire dans un pipeEdit

Considérons une onde stationnaire dans un tuyau de longueur L., L’air à l’intérieur du tuyau Sert de milieu pour les ondes sonores longitudinales se déplaçant vers la droite ou la gauche à travers le tuyau. Alors que les ondes transversales sur la corde des exemples précédents varient dans leur déplacement perpendiculaire à la direction du mouvement des ondes, les ondes voyageant dans l’air dans le tuyau varient en termes de pression et de déplacement longitudinal le long de la direction du mouvement des ondes., L’onde se propage en comprimant et en dilatant alternativement l’air dans des segments du tuyau, ce qui déplace légèrement l’air de sa position de repos et transfère de l’énergie aux segments voisins grâce aux forces exercées par les pressions d’air alternées hautes et basses. Des équations ressemblant à celles de l’onde sur une chaîne peuvent être écrites pour le changement de pression Δp dû à une onde voyageant à droite ou à gauche dans le tuyau.,

Δ p R ( x , t ) = P Max sin ⁡ ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,T)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ P L ( x , t ) = p Max sin ⁡ ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{l}}(x,T)=P_{\text{max}}\sin \Left({2\pi x \over \lambda }+\Omega t\right),}

où

• Pmax est l’amplitude de pression ou l’augmentation ou la diminution maximale de la pression atmosphérique due à chaque onde,
• ω est la fréquence angulaire ou de manière équivalente 2π fois la fréquence f,
• λ est,

Si des ondes droites et gauches identiques traversent le tuyau, la superposition résultante est décrite par la somme

Δ P ( x , t ) = Δ p R ( x , t ) + Δ P L ( x , t ) = 2 P Max sin λ ( 2 π x λ ) cos ⁡ (ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}

notez que cette formule pour la pression est de la même forme que L’équation (1), donc une onde de pression stationnaire se forme qui est fixe dans l’espace et oscille dans le temps.,

Si l’extrémité du tube est fermée, la pression est maximale depuis l’extrémité fermée du tube exerce une force qui limite le mouvement de l’air. Cela correspond à un anti-nœud de pression. Si l’extrémité du tuyau est ouverte, les variations de pression sont très faibles, correspondant à un nœud de pression. L’emplacement exact du nœud de pression à une extrémité ouverte est en fait légèrement au-delà de l’extrémité ouverte du tuyau, de sorte que la longueur effective du tuyau dans le but de déterminer les fréquences de résonance est légèrement plus longue que sa longueur physique. Cette différence de longueur est ignorée dans cet exemple., En termes de réflexions, les extrémités ouvertes réfléchissent partiellement les ondes dans le tuyau, ce qui permet de libérer de l’énergie dans l’air extérieur. Idéalement, les extrémités fermées réfléchissent toute l’onde dans l’autre sens.

considérons D’abord un tuyau ouvert aux deux extrémités, par exemple un tuyau d’orgue ouvert ou un enregistreur.,ds, les conditions aux limites sont analogues à la chaîne à deux extrémités fixes,

Δ P ( 0, t ) = 0, {\displaystyle \Delta P(0, t)=0,} Δ P ( L, t ) = 2 P Max sin max ( 2 π l λ ) cos Co ( ω t ) = 0, {\displaystyle \Delta P(L, t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\Omega t)=0,}

qui ne se produit que lorsque la longueur D’onde des ondes stationnaires est

λ = 2 L n, {\displaystyle \Lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3, \ ldots,}

ou de manière équivalente lorsque la fréquence est

f = n V 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}

où v est la vitesse du son.,

ensuite, considérons un tuyau qui est ouvert et a donc un nœud de pression à x = 0 et fermé et a donc un anti-nœud de pression à x = L. Les exemples incluent une bouteille et une clarinette. CE tuyau a des conditions aux limites analogues à la chaîne avec une seule extrémité fixe. Ses ondes stationnaires ont des longueurs d’onde limitée à

λ = 4, L, n,, {\displaystyle \lambda ={\frac {4}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}

ou, de manière équivalente, la fréquence des ondes stationnaires est limitée à

f = n v 4 .L. {\displaystyle f={\frac {nv}{4}}.,}

notez que pour le cas où une extrémité est fermée, n ne prend que des valeurs impaires comme dans le cas de la chaîne fixée à une seule extrémité.

jusqu’à présent, la vague a été écrit en termes de pression en fonction de la position x et du temps., Alternativement, l’onde peut être écrite en termes de son déplacement longitudinal de l’air, où l’air dans un segment du tuyau se déplace d’avant en arrière légèrement dans la direction x lorsque la pression varie et que les ondes se déplacent dans l’une ou l’autre des directions. La variation de pression Δp et le déplacement longitudinal s sont liés comme

Δ P = − ρ v 2 s s x x , {\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}

Où ρ est la densité de l’air., En termes de déplacement longitudinal, les extrémités fermées des tuyaux correspondent à des nœuds puisque le mouvement de l’air est restreint et les extrémités ouvertes correspondent à des anti-nœuds puisque l’air est libre de se déplacer. Un phénomène similaire, plus facile à visualiser, se produit dans les ondes longitudinales se propageant le long d’un ressort.

On peut aussi considérer un tuyau fermé à ses deux extrémités. Dans ce cas, les deux extrémités seront de pression anti-noeuds ou, de manière équivalente les deux extrémités sera le déplacement des nœuds., Cet exemple est analogue au cas où les deux extrémités sont ouvertes, sauf que le motif d’onde stationnaire a un déphasage π⁄2 le long de la direction x pour décaler l’emplacement des nœuds et des anti-nœuds. Par exemple, la plus longue longueur d’onde qui résonne–le mode fondamental–est à nouveau deux fois la longueur du tuyau, sauf que les extrémités du tuyau ont des anti-nœuds de pression au lieu de nœuds de pression. Entre les extrémités, il y a un nœud de pression., Dans le cas de deux extrémités fermées, la longueur d’onde est à nouveau limitée à

λ = 2 L n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {2L} {n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3, \ ldots,}

et la fréquence est à nouveau limitée à

f = n v 2 L. {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}

un tube de Rubens permet de visualiser les variations de pression des ondes stationnaires dans un tube à deux extrémités fermées.,

onde stationnaire 2D avec une limite rectangulairedit

ensuite, considérons les ondes transversales qui peuvent se déplacer le long d’une surface bidimensionnelle à l’intérieur d’une limite rectangulaire de longueur Lx dans la direction x et de longueur Ly dans la direction Y. Des exemples de ce type de vague sont des vagues d’eau dans une piscine ou des vagues sur une feuille rectangulaire qui a été tendue. Les ondes déplacent la surface dans la direction z, z = 0 étant défini comme la hauteur de la surface lorsqu’elle est immobile.,

En deux dimensions et en coordonnées Cartésiennes, l’équation d’onde est:

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}

où

• z(x,y,t) est le déplacement de la surface,
• c est la vitesse de l’onde.

pour résoudre cette équation différentielle, résolvons d’abord pour sa transformée de Fourier, avec

Z ( x , y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) E − i ω T d T., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}

en prenant la Transformée de Fourier de l’équation d’onde,

∂ 2 Z x x 2 + ∂ 2 Z y y 2 = − ω 2 c 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}

il s’agit d’un problème de valeurs propres où les fréquences correspondent à des valeurs propres qui correspondent alors à des modes ou des fonctions propres spécifiques à la fréquence. Plus précisément, il s’agit d’une forme de L’équation de Helmholtz et elle peut être résolue en utilisant la séparation des variables., Supposons

Z = X ( x ) Y (y ) . {\displaystyle Z=X(x)Y (y).}

en Divisant l’équation de Helmholtz par Z,

1 X ( x ) ∂ X 2 ∂ x 2 + 1 Y ( y ) ∂ Y 2 ∂ y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

cela conduit à deux équations différentielles ordinaires couplées. Le terme x est égal à une constante par rapport à x que nous pouvons définir comme

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 = ( i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}

la Résolution de X(x),

X ( x ) = A k x e i k x x + B k x e − i k x .x. {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}}.}

cette x–dépendance est sinusoïdale-rappelant la formule D’Euler-avec les constantes Akx et Bkx déterminées par les conditions aux limites., De même, le terme y est égal à une constante à l’égard de y que l’on peut définir comme

1 Y ( y ) ∂ Y 2 ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

et la relation de dispersion pour cette vague est donc

ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

résoudre l’équation différentielle pour le terme y,

Y ( y ) = C k y e i k y y + D k Y e − i k Y Y. {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

en multipliant ces fonctions ensemble et en appliquant la Transformée de Fourier inverse, z(x,y,t) est une superposition de modes où chaque mode est le produit de fonctions sinusoïdales pour x, y et t,

z ( x, y , t) ± e ± i k x x e ± i k y y E ± I ω T. {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}

Les constantes qui déterminent les fonctions sinusoïdales exactes dépendent des conditions aux limites et des conditions initiales., Pour voir comment les conditions aux limites s’appliquent, considérons un exemple comme la feuille qui a été tendue où z(x,y,t) doit être zéro tout autour de la limite rectangulaire. Pour la dépendance x, z (x, y, t) doit varier de telle sorte qu’il peut être nul à la fois à x = 0 et x = Lx pour toutes les valeurs de y et T.,si cette condition aux limites est remplie

sin ⁡ k x x , {\displaystyle \sin {k_{x}x},}

avec kx limité à

k x = N π L x, n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n \ pi} {l_ {x}}},\quad n=1,2,3,\dots}

de même, la dépendance y de z(x,y,t) doit être nulle à la fois à y = 0 et à y = Ly, ce qui est satisfait par

sin k k y y , k Y = M π L Y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {K_{y}y},\quad k_ {y}={\frac{m\pi} {l_ {y}}},\quad m=1,2,3,\dots }

restreindre les nombres d’ondes à ces valeurs limite également les fréquences qui résonnent à

ω = c π ( n L x ) 2 + ( m L Y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

Si les conditions initiales pour z (x, y, 0) et sa dérivée temporelle ż(x,y,0) sont choisies de sorte que la t-dépendance est une fonction cosinus, alors les ondes stationnaires pour ce système prennent la forme

z ( X , y , t) = z Max sin max ( N π x L x ) sin ⁡ (m π y L y) cos Co ( ω t). {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1, 2, 3, m m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3, \ dots \ quad m=1,2,3, \ dots }

ainsi, les ondes stationnaires à l’intérieur de cette limite rectangulaire fixe oscillent dans le temps à certaines fréquences de résonance paramétrées par les entiers n et M. Comme elles oscillent dans le temps, elles ne se déplacent pas et leur variation spatiale est sinusoïdale dans les directions x et Le mode fondamental, n = 1 et m = 1, a un seul antinode au milieu du rectangle., La variation de n et m donne des motifs bidimensionnels compliqués mais prévisibles de nœuds et d’antinodes à l’intérieur du rectangle.

notez à partir de la relation de dispersion que dans certaines situations, différents modes–c’est–à – dire différentes combinaisons de n et m-peuvent résonner à la même fréquence même s’ils ont des formes différentes pour leur dépendance x et Y. Par exemple, si la limite est carrée, Lx = Ly, les modes n = 1 et m = 7, n = 7 et m = 1, et n = 5 et m = 5 résonnent tous à

ω = c π L x 50 . {\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}