Il y a plus de 2000 ans, le mathématicien grec Euclide a proposé une liste de cinq postulats sur lesquels il pensait que la géométrie devrait être construite. L’un d’eux, le cinquième, équivalait à une déclaration que nous connaissons tous: que les angles d’un triangle totalisent 180 degrés. Cependant, ce postulat ne semblait pas aussi évident que les quatre autres sur la liste D’Euclide, les mathématiciens ont donc tenté de le déduire d’eux: montrer qu’une géométrie obéissant aux quatre premiers postulats obéirait nécessairement au cinquième., Leur lutte a continué pendant des siècles, mais à la fin ils ont échoué. Ils ont trouvé des exemples de géométries qui n’obéissent pas au cinquième postulat.
la géométrie Sphérique
Photo: Lars H. rohwedder qui.
la géométrie Sphérique est la géométrie sur une sphère. En géométrie sphérique, L’idée euclidienne d’une droite devient un grand cercle, c’est-à-dire un cercle de rayon maximum couvrant tout autour de la partie la plus grosse de la sphère. Il n’est plus vrai que la somme des angles d’un triangle est toujours de 180 degrés., Les très petits triangles auront des angles sommant à seulement un peu plus de 180 degrés (car, du point de vue d’un très petit triangle, la surface d’une sphère est presque plate). Les triangles plus grands auront des angles sommant à beaucoup plus de 180 degrés.
Une chose amusante à propos du temps qu’il a fallu pour découvrir la géométrie sphérique est que c’est la géométrie qui tient à la surface de la Terre!, Mais nous ne remarquons jamais vraiment, parce que nous sommes si petits par rapport à la taille de la terre que si nous dessinons un triangle sur le sol, et mesurons ses angles, la quantité par laquelle la somme des angles dépasse 180 degrés est si minuscule que nous ne pouvons pas le détecter.
la sphère a ce que les mathématiciens appellent la courbure positive et cela a un sens intuitif., Mais il y a une autre géométrie qui prend les choses dans l’autre sens:
géométrie hyperbolique
la géométrie hyperbolique n’est pas aussi facile à visualiser que la géométrie sphérique car elle ne peut pas être modélisée dans Une façon de le visualiser s’appelle le disque de Poincaré.
prenez un disque rond, comme celui délimité par le cercle bleu sur la figure de droite, et imaginez une fourmi vivant à l’intérieur., En géométrie euclidienne, le chemin le plus court entre deux points à l’intérieur de ce disque est le long d’une ligne droite. En géométrie hyperbolique, les distances sont mesurées différemment, de sorte que le chemin le plus court n’est plus le long d’une droite euclidienne mais le long de l’arc d’un cercle qui rencontre la limite du disque à angle droit, comme celui représenté en rouge sur la figure. Une fourmi hyperbolique ferait l’expérience du chemin en ligne droite comme un détour-elle préfère se déplacer le long de l’arc d’un tel cercle.
un triangle hyperbolique, dont les côtés sont des arcs de ces demi-cercles, a des angles qui totalisent moins de 180 degrés., Toutes les formes en noir et blanc de la figure de gauche sont des triangles hyperboliques.
l’Une des conséquences de cette nouvelle métrique hyperbolique, c’est que le cercle frontière du disque est infiniment loin du point de vue de la hyperbolique ant. En effet, la métrique déforme les distances par rapport à la métrique euclidienne ordinaire. Les chemins qui ont la même longueur dans la métrique euclidienne sont plus longs dans la métrique hyperbolique plus ils sont proches du cercle limite., La figure ci-dessous montre un carrelage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers. En raison de la métrique déformée, les heptagones ont tous la même taille dans la métrique hyperbolique. Et comme nous pouvons le voir, la fourmi aurait besoin de traverser infiniment d’entre eux pour atteindre le cercle limite-il est infiniment loin!
contrairement à la sphère, avec sa courbure positive, le plan hyperbolique est courbée négativement., De très petites régions ont le même type de courbure que les selles: dans une direction, elles ressemblent au sommet d’une crête de montagne et dans une autre direction, elles ressemblent au fond d’une vallée.
Image créée par David Wright.
la géométrie hyperbolique peut ressembler à une construction mathématique fantaisiste mais elle a des utilisations réelles. Quand Einstein a développé sa théorie spéciale de la relativité en 1905, il a constaté que les symétries de la géométrie hyperbolique étaient exactement ce dont il avait besoin pour formuler la théorie., Aujourd’hui, les mathématiciens pensent que la géométrie hyperbolique peut aider à comprendre les grands réseaux comme Facebook ou Internet.
Vous pouvez en savoir plus sur la géométrie hyperbolique dans la géométrie non euclidienne et les perles D’Indra.