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Section 5-3 : Produit scalaire

Parfois, le produit scalaire est appelé le produit scalaire. Le produit scalaire est aussi un exemple d’un produit scalaire et donc, à l’occasion, vous peut l’entendre appelle produit scalaire.

Voici quelques propriétés du produit scalaire.

Properties

Les preuves de ces propriétés sont pour la plupart des preuves « computationnelles” et nous n’en ferons que quelques-unes et vous laisserons le reste à prouver.,

la Preuve de \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

la Preuve de l’ : Si \(\vec v\centerdot \vec v = 0\) alors \(\vec v = \vec 0\)

On peut alors le théorème suivant.

Théorème

Preuve

La formule de ce théorème est souvent utilisé non pas pour le calcul d’un produit scalaire, mais plutôt de trouver l’angle entre deux vecteurs., Notez également que bien que l’esquisse des deux vecteurs dans la preuve soit pour les vecteurs bidimensionnels, le théorème est valable pour les vecteurs de n’importe quelle dimension (tant qu’ils ont la même dimension bien sûr).

voyons un exemple de ceci.

Le produit dot nous donne une très belle méthode pour déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires et il donnera une autre méthode pour déterminer quand deux vecteurs sont parallèles. Notez également que souvent nous utiliserons le terme orthogonal à la place de perpendiculaire.

Maintenant, si deux vecteurs sont orthogonaux, alors, nous savons que l’angle entre eux est de 90 degrés., De \(\eqref{eq: eq2}\) cela nous dit que si deux vecteurs sont orthogonaux alors,

\

de même, si deux vecteurs sont parallèles alors l’angle entre eux est soit 0 degrés (pointant dans la même direction) ou 180 degrés (pointant dans la direction opposée). Encore une fois en utilisant \(\eqref{eq:eq2}\) cela signifierait que l’un des éléments suivants devrait être vrai.

\

Il existe également plusieurs applications intéressantes du produit dot que nous devrions examiner.,

les Projections

Il y a une belle formule pour trouver la projection de \(\vec b\) sur \(\vec a\). Le voici,

notez que nous devons également être très prudents avec la notation ici. La projection de \(\vec a\) sur \(\vec b\)est donnée par:

\

Voici un exemple.

à des fins de comparaison, faisons-le également dans l’autre sens.

Comme nous pouvons le voir dans les deux exemples précédents, les deux projections sont différentes, donc soyez prudent.,

cosinus de Direction

Cette application du produit dot nécessite que nous soyons dans un espace tridimensionnel contrairement à toutes les autres applications que nous avons examinées jusqu’à présent.

Voici une esquisse d’un vecteur et des angles de direction.

Les formules pour les cosinus de direction sont,

vérifions le premier produit dot ci-dessus. Nous vous laisserons le reste à vérifier.

\

Voici quelques faits intéressants sur les cosinus de direction.

faisons un exemple rapide impliquant des cosinus de direction.