Une façon de représenter le ruban de Möbius incorporé dans les trois dimensions de l’espace Euclidien est par la paramétrisation:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) sin ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} journal ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(r)\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right).}

intégration isométrique la plus large dans un espace 3modifier

Si une bande de Möbius lisse dans un espace trois est rectangulaire-c’est-à – dire créée à partir de l’identification de deux côtés opposés d’un rectangle géométrique avec flexion mais pas étirement de la surface – alors une telle intégration est connue pour être possible si le rapport d’aspect du rectangle est supérieur à 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, avec les côtés les plus courts identifiés., (Pour un rapport d’aspect plus petit, on ne sait pas si une intégration en douceur est possible.) À mesure que le rapport d’aspect diminue vers 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , un tel encastrement semble s’approcher d’une forme que l’on peut considérer comme une bande de trois triangles équilatéraux, pliés les uns sur les autres pour occuper un triangle équilatéral.

Si la bande de Möbius dans l’espace à trois n’est qu’une seule fois continuellement différentiable (classe C1), alors le théorème de Nash-Kuiper montre qu’il n’existe pas de borne inférieure.,

une méthode de fabrication D’une bande de Möbius à partir d’une bande rectangulaire trop large pour être simplement tordue et jointe (par exemple, un rectangle d’une seule unité de long et d’une unité de large) consiste à plier d’abord la direction large d’avant en arrière en utilisant un nombre pair de plis—un « pli en accordéon »—de sorte que la bande pliée devienne suffisamment étroite pour pouvoir être tordue et jointe, tout comme une seule bande assez longue peut être jointe. Avec deux plis, par exemple, un 1 × 1 bande deviendrait un 1 × ⅓ bande pliée dont la section transversale est en forme de  » N « et resterait un » N  » après un demi-tour., Cette bande pliée, trois fois plus longue que large, serait assez longue pour ensuite se joindre aux extrémités. Cette méthode fonctionne en principe, mais devient impraticable après suffisamment de plis, si du papier est utilisé. En utilisant du papier normal, cette construction peut être pliée à plat, avec toutes les couches du papier dans un seul plan, mais mathématiquement, si cela est possible sans étirer la surface du rectangle n’est pas clair.,

TopologyEdit

La bande de Möbius est un collecteur compact bidimensionnel (c’est-à-dire une surface) avec une limite. C’est un exemple standard d’une surface qui n’est pas orientable. En fait, la bande de Möbius est la quintessence du phénomène topologique de non-orientabilité., En effet, les formes bidimensionnelles (surfaces) sont les formes de dimension la plus basse pour lesquelles la non-orientabilité est possible et la bande de Möbius est la seule surface qui est topologiquement un sous-espace de chaque surface non orientable. Par conséquent, toute surface est non orientable si et seulement si elle contient une bande de Möbius en tant que sous-espace.

la bande de Möbius est également un exemple standard utilisé pour illustrer le concept mathématique d’un faisceau de fibres. Plus précisément, il s’agit d’un faisceau non trivial sur le cercle S1 avec sa fibre égale à l’intervalle unitaire, I = ., Regarder seulement le bord de la bande de Möbius donne un faisceau non trivial à deux points (ou Z2) sur S1.

computer graphicsEdit

Une construction simple de la bande de Möbius qui peut être utilisée pour la représenter dans des progiciels d’infographie ou de modélisation est:

• prenez une bande rectangulaire. Faire pivoter autour d’un point fixe pas dans son plan. À chaque étape, faites également pivoter la bande le long d’une ligne dans son plan (la ligne qui divise la bande en deux) et perpendiculairement au rayon orbital principal. La surface générée sur une révolution complète est la bande de Möbius.,
• prenez une bande de Möbius et coupez-la le long du milieu de la bande. Cela forme une nouvelle bande, qui est un rectangle joint en tournant une extrémité d’un tour entier. En le coupant à nouveau au milieu, cela forme deux bandes de tour entier imbriquées.

géométrie de la bande de Möbius ouverte

elle peut être construite comme une surface de courbure constante positive, négative ou nulle (gaussienne)., Dans les cas de courbure négative et nulle, la bande de Möbius peut être construite comme une surface (géodésique) complète, ce qui signifie que toutes les géodésiques (« lignes droites » sur la surface) peuvent être étendues indéfiniment dans les deux sens.

courbure négative constante:comme le plan et le cylindre ouvert, la bande de Möbius ouverte admet non seulement une métrique complète de courbure constante 0, mais aussi une métrique complète de courbure négative constante, disons -1., Une façon de voir cela est de commencer par le modèle du demi-plan supérieur (Poincaré) du plan hyperbolique ℍ, à savoir ℍ = {(x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} avec la métrique riemannienne donnée par (dx2 + dy2) / y2. Les isométries préservant l’orientation de cette métrique sont toutes les cartes f: → → → de la forme f (z): = (az + b) / (cz + d), où a, b, c, d sont des nombres réels satisfaisant ad − bc = 1. Ici z est un nombre complexe avec Im(z) > 0, et nous avons identifié ℍ avec {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} doté de la métrique Riemannienne qui a été mentionné., Alors une isométrie d’inversion d’orientation g de ℍ est donnée par g (z): = −z, où z désigne le conjugué complexe de Z. Ces faits impliquent que la cartographie h: → → ℍ donnée par h(z): = -2 z z est une isométrie d’inversion d’orientation de ℍ qui génère un groupe cyclique infini G d’isométries. (Il peut être exprimé comme suit: h(z) = (√2i z + 0) / (0z − I/√2), et sa place est l’isométrie de h(h(z)) := 4⋅z, qui peut être exprimée comme (2z + 0) / (0z + 1⁄2).) Le quotient ℍ / G de l’action de ce groupe peut facilement être vu comme étant topologiquement une bande de Möbius., Mais il est également facile de vérifier qu’il est complet et non-compacte à courbure négative constante égale à -1.

le groupe d’isométries de cette bande de Möbius est de Dimension 1 et est isomorphe au groupe orthogonal spécial SO(2).

courbure nulle(constante): elle peut aussi être construite comme une surface complète, en commençant par une partie du plan R2 définie par 0 ≤ y ≤ 1 et en identifiant (x, 0) avec (−x, 1) pour tous les X dans R (Les réels). La métrique résultante fait de la bande de Möbius ouverte une surface plane (géodésique) complète (c’est-à-dire ayant une courbure gaussienne égale à 0 partout)., Il s’agit de la seule métrique de la bande de Möbius, jusqu’à l’échelle uniforme, à la fois plate et complète.

le groupe d’isométries de cette bande de Möbius est de Dimension 1 et est isomorphe au groupe orthogonal SO(2).

courbure positive constante:une bande de Möbius de courbure positive constante ne peut pas être complète, car on sait que les seules surfaces complètes de courbure positive constante sont la sphère et le plan projectif., Le plan projectif P2 de courbure constante + 1 peut être construit comme le quotient de la sphère unitaire S2 dans R3 par la carte antipodale A: S2 → S2, définie par A(x, y, z) = (−x, −y, −z). La bande de Möbius ouverte est homéomorphe au plan projectif une fois perforé, c’est-à-dire P2 avec un point quelconque supprimé. Cela peut être considéré comme le plus proche qu’une bande de Möbius de courbure positive constante peut obtenir d’être une surface complète: juste un point loin.

le groupe d’isométries de cette bande de Möbius est également de Dimension 1 et isomorphe au groupe orthogonal O(2).,

l’espace des lignes non orientées dans le plan est difféomorphe à la bande de Möbius ouverte. Pour voir pourquoi, soit L (θ) la droite passant par l’origine à un angle θ par rapport à l’axe des abscisses positif. Pour chaque L (θ), il y a la famille P(θ) de toutes les droites du plan qui sont perpendiculaires à L(θ). Topologiquement, la famille P (θ) n’est qu’une droite (car chaque droite de P(θ) coupe la droite L(θ) en un seul point). De cette façon, lorsque θ augmente dans la plage 0° ≤ θ < 180°, la droite L(θ) représente la valeur d’une droite de lignes distinctes dans le plan., Mais quand θ atteint 180°, L(180°) est identique à L(0), et donc les familles P(0°) et P(180°) de lignes perpendiculaires sont également identiques familles. La droite L(0°), cependant, est revenue à elle-même comme L(180°) pointée dans la direction opposée. Chaque ligne dans le plan correspond exactement à une ligne dans la famille P(θ), pour θ, pour 0° ≤ θ < 180°, et P(180°) est identique à P(0°), mais renvoie pointé dans la direction opposée. Cela garantit que l’espace de toutes les lignes du plan – l’union de tous les L (θ) pour 0° ≤ θ ≤ 180° – est une bande de Möbius ouverte.,

le groupe de transformations linéaires bijectives GL(2, R) du plan vers lui-même (matrices réelles 2 × 2 avec déterminant non nul) induit naturellement des bijections de l’espace des droites dans le plan vers lui-même, qui forment un groupe d’auto-homéomorphismes de l’espace des droites. Par conséquent, le même groupe forme un groupe d’auto-homéomorphismes de la bande de Möbius décrite dans le paragraphe précédent. Mais il n’y a pas de métrique sur l’espace des droites dans le plan qui soit invariante sous l’action de ce groupe d’homéomorphismes. En ce sens, l’espace des lignes dans le plan n’a pas de métrique naturelle.,

cela signifie que la bande de Möbius possède un groupe de Lie naturel à 4 dimensions d’auto-homéomorphismes, donné par GL(2, R), mais ce haut degré de symétrie ne peut pas être présenté comme le groupe d’isométries d’une métrique quelconque.

bande de Möbius avec une limite arrondiemodifier

le bord, ou la limite, d’une bande de Möbius est homéomorphe (topologiquement équivalent) à un cercle. Sous les encastrements habituels de la bande dans L’espace euclidien, comme ci-dessus, la limite n’est pas un vrai cercle., Cependant, il est possible d’intégrer une bande de Möbius en trois dimensions afin que la limite soit un cercle parfait situé dans un plan. Par exemple, voir les Figures 307, 308 et 309 de « la géométrie et l’imagination ».

un embedding beaucoup plus géométrique commence par une bouteille de Klein minimale immergée dans la 3-sphère, telle que découverte par Blaine Lawson. Nous prenons ensuite la moitié de cette bouteille de Klein pour obtenir une bande de Möbius intégrée dans la sphère 3 (la sphère unité dans l’espace 4)., Le résultat est parfois appelé la « bande Soudanaise Möbius », où « soudanais » se réfère non pas au Pays Soudan, mais aux noms de deux topologues, Sue Goodman et Daniel Asimov. L’application de la projection stéréographique à la bande soudanaise la place dans un espace tridimensionnel, comme on peut le voir ci-dessous – une version due à George Francis peut être trouvée ici.

à partir de la bouteille minimale de Klein de Lawson, nous dérivons une incorporation de la bande dans la 3-sphère S3, considérée comme un sous-ensemble de C2, qui est géométriquement identique à R4., Nous carte angles η, φ aux nombres complexes z1, z2 à l’aide de

z 1 = sin ⁡ η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos ⁡ η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2}.}

pour obtenir une incorporation de la bande de Möbius dans R3 on mappe S3 à R3 via une projection stéréographique. Le point de projection peut être n’importe quel point sur S3 qui ne se trouve pas sur la bande de Möbius intégrée (cela exclut tous les points de projection habituels). Un choix possible est de { 1 / 2 , i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}},i/{\sqrt {2}}\right\}} ., Les projections stéréographiques mappent des cercles à des cercles et préservent la limite circulaire de la bande. Le résultat est un encastrement en douceur de la bande de Möbius dans R3 avec un bord circulaire et sans auto-intersections.

la bande Soudanaise de Möbius dans la triple sphère S3 est géométriquement un faisceau de fibres sur un grand cercle, dont les fibres sont de grands demi-cercles. L’image la plus symétrique d’une projection stéréographique de cette bande dans R3 est obtenue en utilisant un point de projection qui se trouve sur ce grand cercle qui traverse le milieu de chacun des demi-cercles., Chaque choix d’un tel point de projection aboutit à une image qui est congrue à une autre. Mais parce qu’un tel point de projection se trouve sur la bande de Möbius elle – même, deux aspects de l’image sont significativement différents du cas (illustré ci-dessus) où le point n’est pas sur la bande: 1) L’image dans R3 n’est pas la bande de Möbius complète, mais plutôt la bande avec un point enlevé (de sa ligne centrale); et 2) l’image est sans limite-et comme elle s’éloigne de plus en plus de L’origine de R3, elle se rapproche de plus en plus d’un plan., Pourtant, cette version de l’image stéréographique a un groupe de 4 symétries en R3 (il est isomorphe au groupe de Klein 4), par rapport à la version bornée illustrée ci-dessus ayant son groupe de symétries le groupe unique d’ordre 2. (Si toutes les symétries et pas seulement les isométries préservant l’orientation de R3 sont autorisées, le nombre de symétries double dans chaque cas.)

Mais la version la plus géométriquement symétrique de toutes est la bande de Möbius Soudanaise originale dans la triple sphère S3, où son groupe complet de symétries est isomorphe au groupe de Lie O(2)., Ayant une cardinalité infinie (celle du continuum), ceci est beaucoup plus grand que le groupe de symétrie de toute incorporation possible de la bande de Möbius dans R3.

géométrie Projectoiredit

En utilisant la géométrie projective, une bande de Möbius ouverte peut être décrite comme l’ensemble des solutions à une équation polynomiale. L’ajout d’une inégalité polynomiale donne une bande de Möbius fermée. Ceux-ci relient les bandes de Möbius à la géométrie des faisceaux de lignes et à l’opération de soufflage en géométrie algébrique.

= {(λ A , λ B): λ ∈ r ∖ { 0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda A,\lambda B):\lambda \in \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}

Une réalisation d’une bande de Möbius ouverte est donnée par l’ensemble

m = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y } . {\displaystyle M=\{((x,y))\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=Par\}., Je ne sais pas si c’est le cas , mais si c’est le cas, je ne sais pas si c’est le cas , mais si c’est le cas , Je ne sais pas si c’est le cas , mais si C’est le cas, Je ne sais pas si c’est le cas,mais si C’est le cas, Je ne sais pas si C’est le cas .par, \b\neq 0\}\\& = \{(x,y,m) \in\ mathbf {R} ^{3}: MX = y\},\end {aligned}}}

où M correspond à A/B {\displaystyle A / B}.

il y a une réalisation de la bande de Möbius fermée comme un ensemble similaire, mais avec une inégalité supplémentaire pour créer une limite:

N = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}