vous vous souvenez peut-être de l’algèbre et du calcul qu’une fonction peut être un à un et sur, et ces propriétés sont liées à la question de savoir si la fonction est inversible ou non. Nous passons maintenant en revue ces idées importantes. En mathématiques avancées, le mot injective est souvent utilisé au lieu d’un à un, et surjective est utilisé au lieu de sur. Voici les définitions exactes:

Voici une description visuelle de la définition 12.4., En substance, injective signifie que les éléments inégaux dans A sont toujours envoyés à des éléments inégaux dans B. Surjective signifie que chaque élément de B a une flèche pointant vers lui, c’est-à-dire qu’il est égal à f(a) pour certains a dans le domaine de F.

Ceci est illustré ci-dessous pour quatre fonctions \(A \rightarrow B\). Les fonctions de la première colonne sont injectives, celles de la deuxième colonne ne sont pas injectives. Les fonctions de la première ligne sont surjectives, celles de la deuxième ligne ne le sont pas.,

On notera au passage que, selon les définitions, une fonction est surjective si et seulement si son arrivée est égale à sa gamme.

comment montrer une fonction \(f : A \rightarrow B\) est injective:

de ces deux approches, le contrapositif est souvent le plus facile à utiliser, surtout si f est défini par une formule algébrique. C’est parce que le contrapositive approche commence par l’équation \(f(a) = f(a’)\) et procède à l’équation \(a = a’\). En algèbre, comme vous le savez, il est généralement plus facile de travailler avec des équations que d’inégalités.,

comment afficher une fonction \(f : A \rightarrow B\) est surjective:

supposons \(b \dans B\).

l’Exercice de \(\PageIndex{1}\)

Let \(A= \{1,2,3,4\}\) et \(B = \{a,b,c\}\). Donner un exemple d’une fonction \(f : A \rightarrow B\) qui n’est ni injective, ni surjective.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.