demostración Elementariaeditar
supongamos P(P/q) = 0 para algunos coprimos p, q∈∈:
P ( p q ) = n ( p q ) n + A n − 1 ( P q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( P q ) + A 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
para borrar denominadores,
n p n + A n − 1 p n − 1 q + ⋯ + A 1 P q n − 1 + a 0 q N = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}p^{n}=0.,}
desplazar el término a0 hacia el lado derecho y factorizar p en el lado izquierdo produce:
p (a n p n – 1 + A n − 1 q P n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q N . {\displaystyle P\left (a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
así, p divide a0qn. Pero p es coprima a q y por lo tanto a qn, por lo que por lema de Euclides P debe dividir el factor restante a0.
Por otro lado, el desplazamiento de la un plazo para el lado derecho y factorizando q en el lado izquierdo produce:
q ( n − 1 n n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + 0 q n − 1 ) = − a n p n ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}p^{n-1}\derecho)=-a_{n}p^{n}.}
razonamiento como antes, se deduce que q divide an.
Proof using gauss’ lemmaEdit
Si hay un factor no trivial dividiendo todos los coeficientes del polinomio, entonces se puede dividir por el mayor común divisor de los coeficientes para obtener un polinomio Primitivo en el sentido del lema de Gauss; esto no altera el conjunto de raíces racionales y solo fortalece las condiciones de divisibilidad., Ese lema dice que si el polinomio factoriza en Q, entonces también factoriza en Z como un producto de polinomios primitivos. Ahora cualquier raíz racional P / q corresponde a un factor de grado 1 en Q del polinomio, y su representante primitivo es entonces qx − p, asumiendo que p y q son coprimos. Pero cualquier múltiplo en Z de qx-p Tiene término principal divisible por q y término constante divisible por p, lo que prueba la declaración., Este argumento muestra que más generalmente, cualquier factor irreducible de P se puede suponer que tiene coeficientes enteros, y coeficientes principales y constantes que dividen los coeficientes correspondientes de P.