todos los polígonos simples regulares (un polígono simple es uno que no se cruza en ningún lugar) son convexos. Los que tienen el mismo número de lados también son similares.

un polígono regular convexo de n lados se denota por su símbolo Schläfli {n}. Para n < 3, Tenemos dos casos degenerados:

Monogon {1} degenerado en el espacio ordinario. (La mayoría de las autoridades no consideran el monogono como un polígono verdadero, en parte debido a esto, y también porque las fórmulas a continuación no funcionan, y su estructura no es la de ningún polígono abstracto.,) Digon {2}; un» segmento de línea doble » degenera en el espacio ordinario. (Algunas autoridades no consideran el digon como un verdadero polígono debido a esto.)

en ciertos contextos todos los polígonos considerados serán regulares. En tales circunstancias, es costumbre eliminar el prefijo regular. Por ejemplo, todas las caras de poliedros uniformes deben ser regulares y las caras se describirán simplemente como triángulo, cuadrado,pentágono, etc.,

AnglesEdit

Para regular convexo de n-gon, cada ángulo interior tiene una medida de:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} grados; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radianes; o ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} vueltas completas,

Como n se acerca a infinito, el ángulo interno de los enfoques de 180 grados. Para un polígono regular con 10.000 lados (un miriágono) el ángulo interno es de 179,964°. A medida que aumenta el número de lados, el ángulo interno puede acercarse mucho a 180°, y la forma del polígono se acerca a la de un círculo., Sin embargo, el polígono nunca puede convertirse en un círculo. El valor del ángulo interno nunca puede llegar a ser exactamente igual a 180°, ya que la circunferencia se convertiría efectivamente en una línea recta. Por esta razón, un círculo no es un polígono con un número infinito de lados.

DiagonalsEdit

para un n-gon regular inscrito en un círculo de unidad de radio, el producto de las distancias desde un vértice dado a todos los demás vértices (incluidos los vértices adyacentes y los vértices conectados por una diagonal) es igual a n.,

Puntos en el planeEdit

Para un simple n-gon con circunradio R y distancias di desde un punto arbitrario en el plano de los vértices, tenemos

∑ i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

y

S, n ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + agua k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S n ( 4 ) − ( S n ( 2 ) ) 2 ) k ( S n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

donde m {\displaystyle m} es un entero positivo menor que n {\displaystyle n} .,

Si L {\displaystyle L} es la distancia desde un punto arbitrario en el plano del centro de gravedad de un regular de n {\displaystyle n} -gon con circunradio R {\displaystyle R} , entonces

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k ) R 2 k L 2 ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k, L}^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,

donde m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

puntos Interioreseditar

para un n-gon regular, la suma de las distancias perpendiculares desde cualquier punto interior A LOS n lados es n veces el apotema: p. 72 (el apotema es la distancia desde el centro a cualquier lado). Esta es una generalización del teorema de Viviani para el caso n=3.,ellos, a y área, a de polígonos regulares de n lados y circunradio 1, con la base, b de un rectángulo con la misma área – la línea verde muestra el caso n = 6

El circunradio r desde el Centro de un polígono regular a uno de los vértices está relacionado con la longitud del lado s o con el apotema a por

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = A cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\Cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

para polígonos construibles, existen expresiones algebraicas para estas relaciones; véase polígono bicéntrico#polígonos regulares.,

La suma de las perpendiculares de un n-ágono regular los vértices de cualquier línea tangente a la circunferencia circunscrita es igual a n veces el circunradio.: p. 73

la suma de las distancias cuadradas desde los vértices de un n-gon regular a cualquier punto en su circunferencia circunscrita es igual a 2nR2 donde R es el circunradio.:p.73

La suma de los cuadrados de las distancias de los puntos medios de los lados de un n-ágono regular a cualquier punto de la circunferencia circunscrita es 2nR2 − ns2/4, donde s es la longitud lateral y R es el circunradio.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

Diseccioneseditar

Coxeter establece que cada zonogon (un 2m-gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede ser disecado en ( n 2) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} o m(m-1)/2 paralelogramos.Estos teselados están contenidos como subconjuntos de vértices, aristas y caras en proyecciones ortogonales m-cubos.,En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformemente, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos.La lista OEIS: A006245 da el número de soluciones para polígonos más pequeños.,f un polígono regular convexo de n lados que tiene lado s, circunradio R, apotema a y perímetro P está dado por

a = 1 2 N s a = 1 2 p a = 1 4 N S 2 cot ⁡ ( π n ) = n a 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 N R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}NS^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}NR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}