(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Si las ondas viajan con velocidad v a lo largo de la cuerda, entonces equivalentemente la frecuencia de las ondas estacionarias se restringe a

f = v λ = N v 2 L . {\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}

la onda estacionaria con n = 1 oscila a la frecuencia fundamental y tiene una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cuerda. Los valores enteros más altos de n corresponden a modos de oscilación llamados armónicos o armónicos. Cualquier onda estacionaria en la cadena tendrá n + 1 nodos incluyendo los extremos fijos y N anti-nodos.,

para comparar los nodos de este ejemplo con la descripción de nodos para ondas estacionarias en la cadena de longitud infinita, tenga en cuenta que la ecuación (2) se puede reescribir como

λ = 4 L n, {\displaystyle \lambda = {\frac {4L} {n}},} n= 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n = 2,4,6,\ldots}

en esta variación de la expresión para la longitud de onda, n debe ser par., Multiplicando Cruz vemos que porque L es un nodo, es un múltiplo par de un cuarto de longitud de onda,

L = n λ 4, {\displaystyle L = {\frac {n \ lambda} {4}},} n= 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

Este ejemplo demuestra un tipo de resonancia y las frecuencias que producen ondas estacionarias pueden ser referidas como frecuencias resonantes.

onda estacionaria en una cadena con un extremo fijoeditar

a continuación, considere la misma cadena de longitud L, pero esta vez solo se fija en x = 0. En x = L, la cadena es libre para moverse en la dirección y., Por ejemplo, la cuerda puede estar atada en x = L a un anillo que puede deslizarse libremente hacia arriba y hacia abajo de un poste. La cuerda de nuevo tiene una pequeña amortiguación y es impulsada por una pequeña fuerza impulsora en x = 0.

en este caso, la ecuación (1) todavía describe el patrón de onda estacionaria que se puede formar en la cadena, y la cadena tiene la misma condición de límite de y = 0 en x = 0. Sin embargo, en x = L donde la cadena puede moverse libremente debe haber un anti-nodo con amplitud máxima de y. revisando la ecuación (1), Para x = L la amplitud más grande de y ocurre cuando

sin ⁡ ( 2 π L λ ) = 1., {\displaystyle \ sin \ left ({2 \ pi L \ over \ lambda } \ right)=1.}

esto conduce a un conjunto diferente de longitudes de onda que en el ejemplo de dos extremos fijos. Aquí, la longitud de onda de las ondas estacionarias está restringida a

λ = 4 L n, {\displaystyle \lambda = {\frac {4L} {n}},} n= 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots}

equivalentemente, la frecuencia está restringida a

f = N V 4 L . {\displaystyle F = {\frac {nv}{4L}}.}

tenga en cuenta que en este ejemplo n solo toma valores impares. Debido a que L es un anti-nodo, es un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda., Por lo tanto, el modo fundamental en este ejemplo solo tiene un cuarto de un ciclo sinusoidal completo–cero en x = 0 y el primer pico en x = L–el primer armónico tiene tres cuartos de un ciclo sinusoidal completo, y así sucesivamente.

este ejemplo también demuestra un tipo de resonancia y las frecuencias que producen ondas estacionarias se llaman frecuencias resonantes.

onda estacionaria en una pipeeditar

considere una onda estacionaria en una tubería de longitud L., El aire dentro de la tubería sirve como medio para las ondas sonoras longitudinales que viajan a la derecha o a la izquierda a través de la tubería. Mientras que las ondas transversales en la cuerda de los ejemplos anteriores varían en su desplazamiento perpendicular a la dirección del movimiento de la onda, las ondas que viajan a través del aire en la tubería varían en términos de su presión y desplazamiento longitudinal a lo largo de la dirección del movimiento de la onda., La onda se propaga comprimiendo y expandiendo alternativamente el aire en segmentos de la tubería, lo que desplaza ligeramente el aire de su posición de reposo y transfiere energía a los segmentos vecinos a través de las fuerzas ejercidas por las presiones de aire altas y bajas alternas. Se pueden escribir ecuaciones parecidas a las de la onda en una cuerda para el cambio en la presión Δp debido a una onda que viaja a la derecha o a la izquierda en la tubería.,

Δ p R ( x , t ) = P max sin ⁡ ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ P L ( x , t ) = P max sin ⁡ ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{Max}}\sin \left({2\pi x \over \Lambda }+\Omega t\right),}

donde

• pmax es la amplitud de presión o el máximo aumento o disminución de la presión del aire debido a cada onda,
• ω es la frecuencia angular o equivalentemente 2π veces la frecuencia F,
• λ es la longitud de onda de la onda.,

si las ondas idénticas que viajan a la derecha y a la izquierda viajan a través de la tubería, la superposición resultante se describe por la suma

Δ P ( x , t ) = Δ P R ( x , t ) + Δ P L ( x , t ) = 2 P max Sin ⁡ ( 2 π x λ ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \sobre \lambda }\derecho)\cos(\omega t).}

tenga en cuenta que esta fórmula para la presión es de la misma forma que la ecuación (1), por lo que se forma una onda de presión estacionaria que se fija en el espacio y oscila en el tiempo.,

si el extremo de una tubería está cerrado, la presión es máxima ya que el extremo cerrado de la tubería ejerce una fuerza que restringe el movimiento del aire. Esto corresponde a un anti-nodo de presión. Si el extremo de la tubería está abierto, las variaciones de presión son muy pequeñas, correspondientes a un nodo de presión. La ubicación exacta del nodo de presión en un extremo abierto es en realidad ligeramente más allá del extremo abierto de la tubería, por lo que la longitud efectiva de la tubería con el fin de determinar las frecuencias resonantes es ligeramente más larga que su longitud física. Esta diferencia de longitud se ignora en este ejemplo., En términos de reflejos, los extremos abiertos reflejan parcialmente las ondas en la tubería, lo que permite que se libere algo de energía en el aire exterior. Idealmente, los extremos cerrados reflejan toda la onda en la otra dirección.

primero considere una tubería que está abierta en ambos extremos, por ejemplo una tubería de órgano abierta o una grabadora.,ds, las condiciones de contorno son análogas a la cadena con dos extremos fijos,

Δ P ( 0, t ) = 0, {\displaystyle \Delta p(0, t)=0,} Δ P ( L, t ) = 2 P max sin ⁡ ( 2 π L λ ) cos ⁡ ( ω t ) = 0, {\displaystyle \Delta P(L, t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega T)=0,}

que solo ocurre cuando la longitud de onda de las ondas estacionarias es

λ = 2 L N, {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\n = 1,2,3,\ldots,}

o de forma equivalente cuando la frecuencia es

f = N v 2 L, {\displaystyle F={\frac {nv}{2L}},}

donde v es la velocidad del sonido.,

a continuación, considere un tubo que está abierto y por lo tanto tiene un nodo de presión en x = 0 y cerrado y por lo tanto tiene un anti-nodo de presión en x = L. ejemplos incluyen una botella y un clarinete. Esta tubería tiene condiciones de límite análogas a la cadena con un solo extremo fijo. Sus ondas estacionarias tienen longitudes de onda restringidas a

λ = 4 L n, {\displaystyle \lambda = {\frac {4L} {n}},} n= 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots,}

o equivalentemente la frecuencia de ondas estacionarias está restringida a

f = N V 4 L . {\displaystyle F = {\frac {nv}{4L}}.,}

tenga en cuenta que para el caso donde un extremo está cerrado, n solo toma valores impares al igual que en el caso de la cadena fija en un solo extremo.

hasta ahora, la onda se ha escrito en términos de su presión en función de la posición x y el tiempo., Alternativamente, la onda se puede escribir en términos de su desplazamiento longitudinal de aire, donde el aire en un segmento de la tubería se mueve hacia adelante y hacia atrás ligeramente en la dirección x a medida que la presión varía y las ondas viajan en una o ambas direcciones. El cambio en la presión Δp y el desplazamiento longitudinal s están relacionados como

Δ P = – ρ v 2 ∂ s ∂ x, {\displaystyle \ Delta p = – \rho v^{2} {\frac {\partial s} {\partial x}},}

donde ρ es la densidad del aire., En términos de desplazamiento longitudinal, los extremos cerrados de las tuberías corresponden a nodos ya que el movimiento del aire está restringido y los extremos abiertos corresponden a anti-nodos ya que el aire es libre de moverse. Un fenómeno similar, más fácil de visualizar ocurre en ondas longitudinales que se propagan a lo largo de un resorte.

También podemos considerar una tubería que está cerrada en ambos extremos. En este caso, ambos extremos serán anti-nodos de presión o equivalentemente ambos extremos serán nodos de desplazamiento., Este ejemplo es análogo al caso donde ambos extremos están abiertos, excepto que el patrón de onda estacionaria tiene un cambio de fase π⁄2 a lo largo de la dirección x para cambiar la ubicación de los nodos y anti-nodos. Por ejemplo, la longitud de onda más larga que resuena–el modo fundamental–es de nuevo el doble de la longitud de la tubería, excepto que los extremos de la tubería tienen anti-nodos de presión en lugar de nodos de presión. Entre los extremos hay un nodo de presión., En el caso de dos extremos cerrados, la longitud de onda se restringe nuevamente a

λ = 2 L n, {\displaystyle \lambda = {\frac {2L} {n}},} n= 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n = 1,2,3,\ldots,}

y la frecuencia se restringe nuevamente a

f = N v 2 L . {\displaystyle F = {\frac {nv}{2L}}.}

un tubo de Rubens proporciona una forma de visualizar las variaciones de presión de las ondas estacionarias en un tubo con dos extremos cerrados.,

onda estacionaria 2D con un límite rectangulareditar

a continuación, considere las ondas transversales que pueden moverse a lo largo de una superficie bidimensional dentro de un límite rectangular de longitud Lx en la dirección x y longitud Ly en la dirección Y. Ejemplos de este tipo de ola son las olas de agua en una piscina o las olas en una hoja rectangular que ha sido tensa. Las ondas desplazan la superficie en la dirección z, con z = 0 definido como la altura de la superficie cuando está quieta.,

En dos dimensiones y coordenadas Cartesianas, la ecuación de onda es:

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\derecho)}

donde

• z(x,y,t) es el desplazamiento de la superficie,
• c es la velocidad de la onda.

para resolver esta ecuación diferencial, primero resolvamos para su transformada de Fourier, con

Z ( x , y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) e − i ω t d t ., {\displaystyle Z (x, y, \ omega) =\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t) e^{-i\omega T}dt.}

tomando la Transformada de Fourier de la ecuación de onda,

∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = − ω 2 c 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}

Este es un problema de valores propios donde las frecuencias corresponden a valores propios que luego corresponden a modos específicos de frecuencia o funciones propias. Específicamente, esta es una forma de la ecuación de Helmholtz y se puede resolver usando la separación de variables., Suponga

Z = X (x) Y ( y). {\displaystyle Z=X(x)y(y).}

dividiendo la ecuación de Helmholtz por Z,

1 x ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 y (y ) ∂ 2 y ∂ y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(s)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

esto conduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. El término X es igual a una constante con respecto a x que podemos definir como

1 X (x) ∂ 2 X ∂ x 2 = ( i k x) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}

resolviendo para X (x),

X ( x) = A k x e i k x x + B k x e − i k x x . {\displaystyle X(x) = a_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

esta dependencia x es sinusoidal-recordando la fórmula de Euler – con constantes Akx y Bkx determinadas por las condiciones de contorno., Asimismo, el plazo y es igual a una constante con respecto a y que podemos definir como

1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(s)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

y la relación de dispersión para esta onda es, por tanto,

ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

resolviendo la ecuación diferencial para el término y,

y ( y ) = C k y e I k y y + D k y E − I k y y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

multiplicando estas funciones juntas y aplicando la transformada inversa de Fourier, z(x,Y,t) es una superposición de modos donde cada modo es el producto de funciones sinusoidales para x, y, y t,

z ( x , y , t) e e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z (x, Y, t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}E^{\pm I\omega t}.}

Las constantes que determinan las funciones sinusoidales exactas dependen de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales., Para ver cómo se aplican las condiciones de contorno, considere un ejemplo como la hoja que ha sido tensa donde z (x,Y,t) debe ser cero alrededor del contorno rectangular. Para la dependencia de x, z (x, Y, t) debe variar de una manera que puede ser cero en ambos x = 0 y x = Lx para todos los valores de Y y t.,tion that satisfies this boundary condition is

sin ⁡ k x x, {\displaystyle \sin {k_{x} x},}

with KX restricted to

k x = n π L x, n = 1 , 2 , 3 , … {\K_{x}={\frac {n\pi }{l_{x}}},\quad n = 1,2,3,\dots }

asimismo, la dependencia y de z (x,Y,t) debe ser cero tanto en y = 0 como en y = Ly, que se satisface con

sin ⁡ k y y, k y = m π L y, m = 1 , 2 , 3 , … {\ \ sin {k_{y} y},\quad k_{y}={\frac {m \ pi} {L_{y}}},\quad m = 1,2,3,\dots }

restringir los números de onda a estos valores también restringe las frecuencias que resuenan a

ω = c π ( n L x ) 2 + ( m L y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

si se eligen las condiciones iniciales para z(x,y,0) y su derivada temporal ż(x,y,0) para que la dependencia t sea una función coseno, entonces las ondas estacionarias para este sistema toman la forma

z ( x , y , t ) = Z max sin ⁡ ( n π x L x ) sin ⁡ ( M π y L y ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1, 2, 3, m m = 1 , 2 , 3 , … {\n=1,2,3,\dots \quad m = 1,2,3,\dots }

Por lo tanto, las ondas estacionarias dentro de este límite rectangular fijo oscilan en el tiempo a ciertas frecuencias resonantes parametrizadas por los enteros n y m. a medida que oscilan en el tiempo, no viajan y su variación espacial es sinusoidal tanto en las direcciones x como y, de modo que satisfacen las condiciones de límite. El modo fundamental, n = 1 y m = 1, tiene un único antinodo en el centro del rectángulo., La variación de n y m da Patrones bidimensionales complicados pero predecibles de nodos y antinodos dentro del rectángulo.

Nota de la relación de dispersión que en ciertas situaciones diferentes modos-es decir, diferentes combinaciones de n y m – pueden resonar a la misma frecuencia a pesar de que tienen diferentes formas para su dependencia de x e Y. Por ejemplo, si el límite es cuadrado, Lx = Ly, los modos n = 1 y m = 7, n = 7 y m = 1, y n = 5 y m = 5 Todos resuenan en

ω = c π L x 50 . {\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}