un objeto que existía en un universo en forma de tira de mobius sería indistinguible de su propia imagen de espejo – la garra más grande de este cangrejo violinista cambia de izquierda a derecha con cada circulación.,no es imposible que el universo pueda tener esta propiedad; ver agujero de gusano no orientable
una forma de representar la tira de Möbius incrustada en el espacio euclidiano tridimensional es mediante la parametrización:
x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos u 2 ) cos u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\COS U} y ( U , V ) = ( 1 + V 2 cos u 2 ) Sin u {\displaystyle Y(u,v)=\Left(1+{\frac {V}{2}}\cos {\frac {U}{2}}\right)\sin U} Z ( U , v ) = V 2 sin U 2 {\displaystyle Z(U,V)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {U}{2}}} log ( r ) sin ( 1 2 θ ) = z cos ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \ log(r) \sin\left ({\tfrac {1}{2}} \theta\right)=z \cos\left ({\tfrac {1}{2}} \theta \ right).}
embedding isométrico más ancho en 3-espacioeditar
si una tira lisa de Möbius en tres-espacio es una rectangular-es decir, creada a partir de la identificación de dos lados opuestos de un rectángulo geométrico con flexión pero no estirando la superficie-entonces se sabe que tal embedding es posible si la relación de aspecto del rectángulo es mayor que 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , con los lados más cortos identificados., (Para una relación de aspecto más pequeña, no se sabe si es posible una incrustación suave. A medida que la relación de aspecto disminuye hacia 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , cualquier incrustación parece acercarse a una forma que se puede pensar como una tira de tres triángulos equiláteros, plegados uno encima del otro para ocupar un triángulo equilátero.
si la tira de Möbius en tres espacios es solo una vez continuamente diferenciable (clase C1), sin embargo, entonces el teorema de Nash-Kuiper muestra que no existe un límite inferior.,
un método para hacer una tira de Möbius a partir de una tira rectangular demasiado ancha para simplemente girar y unirse (por ejemplo, un rectángulo de solo una unidad de largo y una unidad de ancho) es doblar primero la dirección ancha hacia adelante y hacia atrás utilizando un número par de pliegues—un «pliegue de acordeón»—de modo que la tira doblada se vuelva lo suficientemente estrecha como para que se pueda torcer y unir, al igual que una sola tira lo suficientemente larga se puede unir. Con dos pliegues, por ejemplo, una tira de 1 × 1 se convertiría en una tira doblada de 1 × ⅓ cuya sección transversal tiene la forma de una ‘N’ y seguiría siendo una ‘N’ Después de un medio giro., Esta tira doblada, tres veces más larga que ancha, sería lo suficientemente larga para luego unirse en los extremos. Este método funciona en principio, pero se vuelve poco práctico después de suficientes pliegues, si se utiliza papel. Usando papel normal, esta construcción se puede plegar plana, con todas las capas del papel en un solo plano, pero matemáticamente, si esto es posible sin estirar la superficie del rectángulo no está claro.,
TopologyEdit
para convertir un rectángulo en una tira de Möbius, une los bordes Etiquetados A para que las direcciones de las flechas coincidan.
la tira de Möbius es un colector compacto bidimensional (es decir, una superficie) con límite. Es un ejemplo estándar de una superficie que no es orientable. De hecho, la franja de Möbius es el epítome del fenómeno topológico de la no orientabilidad., Esto se debe a que las formas bidimensionales (superficies) son las formas de menor dimensión para las que la no orientabilidad es posible y la franja de Möbius es la única superficie que es topológicamente un subespacio de cada superficie no orientable. Como resultado, cualquier superficie es no orientable si y solo si contiene una banda de Möbius como subespacio.
la tira de Möbius es también un ejemplo estándar utilizado para ilustrar el concepto matemático de un haz de fibra. Específicamente, es un haz no trivial sobre el círculo S1 con su fibra igual a la unidad de intervalo, I = ., Mirando solo en el borde de la tira de Möbius da un haz no trivial de dos puntos (o Z2) sobre S1.
Computer graphicsEdit
una construcción simple de la tira de Möbius que se puede usar para retratarla en gráficos por computadora o paquetes de modelado es:
- tome una tira rectangular. Gire alrededor de un punto fijo no en su plano. En cada paso, también gire la tira a lo largo de una línea en su plano (la línea que divide la tira en dos) y perpendicular al radio orbital principal. La superficie generada en una revolución completa es la franja de Möbius.,
- tome una tira de Möbius y córtela a lo largo de la mitad de la tira. Esto forma una nueva tira, que es un rectángulo Unido girando un extremo una vuelta entera. Al cortarlo por el Centro de nuevo, esto forma dos tiras de giro completo entrelazadas.
geometría de la banda abierta de Möbius.
puede construirse como una superficie de curvatura constante positiva, negativa o cero (Gaussiana)., En los casos de curvatura negativa y cero, la banda de Möbius se puede construir como una superficie completa (geodésicamente), lo que significa que todas las geodésicas («líneas rectas» en la superficie) se pueden extender indefinidamente en cualquier dirección.
curvatura negativa constante: al igual que el plano y el cilindro abierto, la banda abierta de Möbius admite no solo una métrica completa de curvatura constante 0, sino también una métrica completa de curvatura negativa constante, digamos -1., Una forma de ver esto es comenzar con el modelo del medio plano superior (Poincaré) del plano hiperbólico ℍ, a saber ℍ = { (x, y) ∈ ∈2 | y > 0} con la métrica de Riemann dada por (dx2 + dy2) / Y2. Las isometrías que preservan la orientación de esta métrica son todos los mapas f: → → → de la forma f(z) := (az + b) / (cz + d), donde A, b, c, d son números reales que satisfacen ad − bc = 1. Aquí z es un número complejo con Im(z) > 0, y hemos identificado ℍ con {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} dotado de la métrica de Riemann que se ha mencionado., Entonces una isometría de inversión de orientación g de ℍ está dada por g(z) := −z, donde z denota el conjugado complejo de z. estos hechos implican que la asignación h: → → given dada por h (z) := -2⋅z es una isometría de inversión de orientación de ℍ que genera un grupo cíclico infinito G de isometrías. (Se puede expresar como h(z) = (√2i z + 0) / (0z − I/√2), y su plaza es la isometría h(h(z)) := 4⋅z, que puede ser expresada como (2z + 0) / (0z + 1⁄2).) The quotient ℍ / G of the action of this group can easily be seen to be topologically a Möbius band., Pero también es fácil verificar que es completa y no compacta, con una curvatura negativa constante igual a -1.
el grupo de isometrías de esta banda de Möbius es 1-dimensional y es isomorfo al grupo ortogonal especial SO (2).
(constante) curvatura cero:esto también se puede construir como una superficie completa, Comenzando con la porción del plano R2 definida por 0 ≤ y ≤ 1 e identificando (x, 0) con (−x, 1) para todo x en R (Los Reales). La métrica resultante convierte la banda abierta de Möbius en una superficie plana completa (geodésicamente) (es decir, con curvatura gaussiana igual a 0 en todas partes)., Esta es la única métrica en la banda de Möbius, hasta la escala uniforme, que es plana y completa.
el grupo de isometrías de esta banda de Möbius es 1-dimensional y es isomorfo al grupo ortogonal SO (2).
curvatura positiva constante: una banda de Möbius de curvatura positiva constante no puede ser completa, ya que se sabe que las únicas superficies completas de curvatura positiva constante son la esfera y el plano proyectivo., El plano proyectivo P2 de curvatura constante +1 puede construirse como el cociente de la esfera unitaria S2 en R3 mediante el mapa antipodal a: S2 → S2, definido por A(x, Y, z) = (−x, −Y, −z). La banda abierta de Möbius es homeomorfa al plano proyectivo una vez perforado, es decir, P2 con cualquier punto eliminado. Esto puede ser considerado como lo más cercano que una banda de Möbius de curvatura positiva constante puede llegar a ser una superficie completa: a solo un punto de distancia.
el grupo de isometrías de esta banda de Möbius es también 1-dimensional e isomórfico al grupo ortogonal O (2).,
el espacio de líneas no orientadas en el plano es difeomorfo a la banda abierta de Möbius. Para ver por qué, L (θ) denota la línea a través del origen en un ángulo θ al eje X positivo. Para cada L (θ) existe la familia P(θ) de todas las rectas en el plano que son perpendiculares a L(θ). Topológicamente, la familia P (θ) es solo una línea(porque cada línea en P(θ) interseca la línea L (θ) en un solo punto). De esta manera, a medida que θ aumenta en el rango 0° ≤ θ < 180°, la línea L(θ) representa el valor de una línea de líneas distintas en el plano., Pero cuando θ alcanza 180°, L(180°) es idéntica a l(0), por lo que las familias P(0°) y P (180°) de las líneas perpendiculares también son familias idénticas. La línea L (0°), sin embargo, ha vuelto a sí misma como L(180°) apuntando en la dirección opuesta. Cada línea en el plano corresponde exactamente a una línea en alguna familia P (θ), Para exactamente una θ, Para 0° ≤ θ < 180°, y P(180°) es idéntica a P(0°) pero regresa apuntada en la dirección opuesta. Esto asegura que el espacio de todas las líneas en el plano-la Unión de todo el L (θ) Para 0 ° ≤ θ ≤ 180° – es una banda abierta de Möbius.,
el grupo de transformaciones lineales biyectivas GL (2, R) del plano a sí mismo (matrices reales de 2 × 2 con determinante distinto de cero) induce naturalmente biyecciones del espacio de líneas en el plano a sí mismo, que forman un grupo de homeomorfismos del espacio de líneas. Por lo tanto, el mismo grupo forma un grupo de homeomorfismos de la banda de Möbius descrito en el párrafo anterior. Pero no hay ninguna métrica en el espacio de líneas en el plano que sea invariante bajo la acción de este grupo de homeomorfismos. En este sentido, el espacio de líneas en el plano no tiene métrica natural en él.,
esto significa que la banda de Möbius posee un grupo natural de Lie de 4 dimensiones de auto-homeomorfismos, dado por GL(2, R), pero este alto grado de simetría no puede ser exhibido como el grupo de isometrías de ninguna métrica.
Möbius band with round boundaryEdit
el borde, o límite, de una tira de Möbius es homeomorfo (topológicamente equivalente) a un círculo. Bajo las incrustaciones habituales de la franja en el espacio euclidiano, como anteriormente, el límite no es un círculo verdadero., Sin embargo, es posible incrustar una tira de Möbius en tres dimensiones para que el límite sea un círculo perfecto que se encuentra en algún plano. Por ejemplo, véanse las figuras 307, 308 y 309 de «geometría e imaginación».
una incrustación mucho más geométrica comienza con una botella de Klein mínima sumergida en la 3-esfera, como descubrió Blaine Lawson. Luego tomamos la mitad de esta botella de Klein para obtener una banda de Möbius incrustada en la esfera 3 (La esfera unitaria en el espacio 4)., El resultado es a veces llamado «Sudanese Möbius Band», donde» sudanese » no se refiere al país Sudán, sino a los nombres de dos topólogos, Sue Goodman y Daniel Asimov. La aplicación de la proyección estereográfica a la banda Sudanesa La coloca en un espacio tridimensional – como se puede ver a continuación, una versión debida a George Francis se puede encontrar aquí.
de la botella de Klein minimal de Lawson derivamos una incrustación de la banda en la 3-esfera S3, considerada como un subconjunto de C2, que es geométricamente lo mismo que R4., Mapeamos ángulos η, φ a números complejos z1, z2 vía
z 1 = sin η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2} = \cos \eta \,e^{i\varphi /2}.}
para obtener una incrustación de la tira de Möbius en R3 one mapea S3 a R3 a través de una proyección estereográfica. El punto de proyección puede ser cualquier punto en S3 que no se encuentre en la tira de Möbius incrustada (esto descarta todos los puntos de proyección habituales). Una opción posible es { 1 / 2 , os / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}},i/{\sqrt {2}}\right\}} ., Las proyecciones estereográficas mapean círculos a círculos y preservan el límite circular de la tira. El resultado es una integración suave de la tira de Möbius en R3 con un borde circular y sin intersecciones automáticas.
La Banda Sudanesa de Möbius en la s3 de tres esferas es geométricamente un haz de fibras sobre un gran círculo, cuyas fibras son grandes semicírculos. La imagen más simétrica de una proyección estereográfica de esta banda en R3 se obtiene utilizando un punto de proyección que se encuentra en ese gran círculo que corre a través del punto medio de cada uno de los semicírculos., Cada elección de tal punto de proyección da como resultado una imagen que es congruente con cualquier otra. Pero debido a que tal punto de proyección se encuentra en la banda de Möbius en sí, dos aspectos de la imagen son significativamente diferentes del caso (ilustrado arriba) donde el punto no está en la banda: 1) la imagen en R3 no es la banda completa de Möbius, sino más bien la banda con un punto eliminado (de su línea central); y 2) la imagen es ilimitada – y a medida que se aleja cada vez más del origen de R3, se aproxima cada vez más a un plano., Sin embargo, esta versión de la imagen estereográfica tiene un grupo de 4 simetrías en R3 (es isomórfica al grupo de Klein 4), en comparación con la versión acotada ilustrada anteriormente que tiene su grupo de simetrías el grupo único de orden 2. (Si se permiten todas las simetrías y no solo las isometrías que preservan la orientación de R3, el número de simetrías en cada caso se duplica.)
pero la versión más geométricamente simétrica de todas es la banda Sudanesa original de Möbius en la esfera de tres S3, donde su grupo Completo de simetrías es isomórfico al grupo de Lie O(2)., Teniendo una cardinalidad infinita (la del continuum), esto es mucho más grande que el grupo de simetría de cualquier posible incrustación de la banda de Möbius en R3.
geometría Proyectivaeditar
Usando geometría proyectiva, una banda abierta de Möbius puede ser descrita como el conjunto de soluciones a una ecuación polinómica. La adición de una desigualdad polinómica da como resultado una banda Möbius cerrada. Estos relacionan las bandas de Möbius a la geometría de los haces de líneas y la operación de soplado en geometría algebraica.
= {(λ A, λ b): λ ∈ r {{0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda a,\lambda B):\lambda \in \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}
una realización de una banda abierta de Möbius está dada por el conjunto
M = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y } . {\displaystyle M = \{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By\}.,} M ‘= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : a x = B, y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{aligned}M’&=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=Por,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{aligned}}}
donde m corresponde a Un / B {\displaystyle A/B} .
hay una realización de la banda cerrada de Möbius como un conjunto similar, pero con una desigualdad adicional para crear un límite:
N = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1: A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}