hace más de 2000 años el matemático griego Euclides se le ocurrió una lista de cinco postulados sobre los que pensaba que la geometría debería construirse. Uno de ellos, el quinto, era equivalente a una afirmación con la que todos estamos familiarizados: que los ángulos en un triángulo suman 180 grados. Sin embargo, este postulado no parecía tan obvio como los otros cuatro en la lista de Euclides, por lo que los matemáticos intentaron deducirlo de ellos: para mostrar que una geometría que obedeciera a los cuatro primeros postulados necesariamente obedecería al quinto., Su lucha continuó durante siglos, pero al final fracasaron. Encontraron ejemplos de geometrías que no obedecen al quinto postulado.
geometría esférica
imagen: Lars H. Rohwedder.
la geometría Esférica es la geometría de una esfera. En geometría esférica, la idea euclidiana de una línea se convierte en un gran círculo, es decir, un círculo de radio máximo que abarca la parte más gorda de la esfera. No es cierto que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180 grados., Los triángulos muy pequeños tendrán ángulos que sumen solo un poco más de 180 grados (porque, desde la perspectiva de un triángulo muy pequeño, la superficie de una esfera es casi plana). Los triángulos más grandes tendrán ángulos que sumen mucho más de 180 grados.
una cosa divertida acerca de la longitud de tiempo que tomó para descubrir la geometría esférica es que es la geometría que se sostiene en la superficie de la Tierra!, Pero realmente nunca nos damos cuenta, porque somos tan pequeños comparados con el tamaño de la tierra que si dibujamos un triángulo en el suelo, y medimos sus ángulos, la cantidad por la cual la suma de los ángulos excede 180 grados es tan pequeña que no podemos detectarlo.
la esfera tiene lo que los matemáticos llaman curvatura positiva y esto tiene sentido intuitivo., Pero hay otra geometría que toma las cosas en la otra dirección:
geometría hiperbólica
la geometría hiperbólica no es tan fácil de visualizar como la geometría esférica porque no se puede modelar en el espacio euclidiano tridimensional sin distorsión. Una forma de visualizarlo es el disco de Poincaré.
tome un disco redondo, como el delimitado por el círculo azul en la figura de la derecha, e imagine una hormiga Viviendo dentro de él., En geometría euclidiana el camino más corto entre dos puntos dentro de ese disco es a lo largo de una línea recta. En geometría hiperbólica, las distancias se miden de manera diferente, por lo que el camino más corto ya no es a lo largo de una línea recta euclidiana, sino a lo largo del arco de un círculo que se encuentra con el límite del disco en ángulos rectos, como el que se muestra en rojo en la figura. Una hormiga hiperbólica experimentaría el camino en línea recta como un desvío-prefiere moverse a lo largo del arco de tal círculo.
un triángulo hiperbólico, cuyos lados son arcos de estos semicírculos, tiene ángulos que suman menos de 180 grados., Todas las formas en blanco y negro de la figura de la izquierda son triángulos hiperbólicos.
una consecuencia de esta nueva métrica hiperbólica es que el círculo límite del disco está infinitamente lejos del punto de vista de la hormiga hiperbólica. Esto se debe a que la métrica distorsiona las distancias con respecto a la euclidiana ordinaria. Los caminos que se ven de la misma longitud en la métrica euclidiana son más largos en la métrica hiperbólica cuanto más cerca están del círculo límite., La siguiente figura muestra un mosaico del plano hiperbólico por heptágonos regulares. Debido a la métrica distorsionada los heptágonos son todos del mismo tamaño en la métrica hiperbólica. Y como podemos ver, la hormiga tendría que atravesar infinitamente muchas de ellas para llegar al círculo límite — ¡está infinitamente lejos!
en contraste con la esfera con su curvatura positiva, el plano hiperbólico se curva negativamente., Las regiones muy pequeñas tienen el mismo tipo de curvatura que las sillas de montar: en una dirección, se ven como la cima de una cresta de montaña, y en otra dirección se ven como el fondo de un valle.
imagen creada por David Wright.
la geometría hiperbólica puede parecer una construcción matemática fantasiosa pero tiene usos en la vida real. Cuando Einstein desarrolló su teoría especial de la relatividad en 1905 encontró que las simetrías de la geometría hiperbólica eran exactamente lo que necesitaba para formular la teoría., Hoy en día los matemáticos creen que la geometría hiperbólica puede ayudar a entender grandes redes como Facebook o Internet.
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