(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Wenn sich Wellen mit der Geschwindigkeit v entlang der Saite bewegen, ist die Frequenz der stehenden Wellen äquivalent auf

f = v λ = n v 2 L beschränkt . {\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}

Die stehende Welle mit n = 1 oszilliert mit der Grundfrequenz und hat eine Wellenlänge, die doppelt so lang ist wie die Saite. Höhere ganzzahlige Werte von n entsprechen Schwingungsmodi, die als Oberschwingungen oder Obertöne bezeichnet werden. Jede stehende Welle auf der Saite hat n + 1 Knoten einschließlich der festen Enden und n Antiknoten.,

Um die Knoten dieses Beispiels mit der Beschreibung der Knoten für stehende Wellen in der Zeichenfolge mit unendlicher Länge zu vergleichen, beachten Sie, dass Gleichung (2) als

λ = 4 L n, {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n umgeschrieben werden kann = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

Bei dieser Variation des Ausdrucks für die Wellenlänge muss n gerade sein., Kreuzmultiplikation Wir sehen, dass, weil L ein Knoten ist, es ein gleichmäßiges Vielfaches einer Viertelwellenlänge ist,

L = n λ 4, {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6, \ ldots }

Dieses Beispiel zeigt eine Art von Resonanz und die Frequenzen, die stehende Wellen erzeugen, können als Resonanzfrequenzen bezeichnet werden.

Stehende Welle auf einer Saite mit einem festen EndEdit

Betrachten Sie als nächstes dieselbe Saite der Länge L, diesmal ist sie jedoch nur auf x = 0 festgelegt. Bei x = L kann sich die Zeichenfolge frei in y-Richtung bewegen., Zum Beispiel könnte die Saite bei x = L an einen Ring gebunden sein, der frei auf und ab einer Stange gleiten kann. Die Saite hat wiederum eine geringe Dämpfung und wird durch eine geringe Antriebskraft bei x = 0 angetrieben.

In diesem Fall beschreibt Gleichung (1) immer noch das Stehwellenmuster, das sich auf der Zeichenfolge bilden kann, und die Zeichenfolge hat die gleiche Randbedingung von y = 0 bei x = 0. Bei x = L, wo sich die Zeichenfolge frei bewegen kann, sollte sich jedoch ein Antiknoten mit maximaler Amplitude von y. In Gleichung (1) tritt für x = L die größte Amplitude von y auf, wenn

sin ⁡ ( 2 π L λ) = 1., {\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=1.}

Dies führt zu einem anderen Satz von Wellenlängen als im Beispiel mit zwei festen Enden. Hier ist die Wellenlänge der stehenden Wellen auf

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}} n beschränkt = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }

Äquivalent ist die Frequenz auf

f = n v 4 L beschränkt . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}

Beachten Sie, dass n in diesem Beispiel nur ungerade Werte annimmt. Da L ein Anti-Knoten ist, ist es ein ungerades Vielfaches einer Viertelwellenlänge., Somit hat der Grundmodus in diesem Beispiel nur ein Viertel eines vollständigen Sinuszyklus-Null bei x = 0 und der erste Peak bei x = L–die erste Harmonische hat drei Viertel eines vollständigen Sinuszyklus und so weiter.

Dieses Beispiel zeigt auch eine Art von Resonanz und die Frequenzen, die stehende Wellen erzeugen, werden Resonanzfrequenzen genannt.

Stehende Welle in einer Rohreit

Betrachten Sie eine stehende Welle in einer Rohrlänge L., Die Luft im Inneren des Rohres dient als Medium für Längsschallwellen, die nach rechts oder links durch das Rohr wandern. Während die transversalen Wellen an der Saite aus den vorherigen Beispielen in ihrer Verschiebung senkrecht zur Richtung der Wellenbewegung variieren, variieren die Wellen, die durch die Luft in dem Rohr wandern, in Bezug auf ihren Druck und ihre Längsverschiebung entlang der Richtung der Wellenbewegung., Die Welle breitet sich aus, indem sie abwechselnd Luft in Rohrsegmenten komprimiert und ausdehnt, was die Luft leicht aus ihrer Ruheposition verdrängt und Energie durch die Kräfte, die durch den abwechselnden hohen und niedrigen Luftdruck ausgeübt werden, auf benachbarte Segmente überträgt. Gleichungen, die denen für die Welle an einer Saite ähneln, können für die Druckänderung Δp aufgrund einer rechts – oder linksbewegten Welle im Rohr geschrieben werden.,

Δ p R ( x , t ) = p max sin ⁡ ( 2 π x λ − ω t) {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p max sin ⁡ ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}

wo

• pmax ist die Druck amplitude oder die maximale Zunahme oder Abnahme des Luftdrucks durch jede Welle
• ω ist die Kreisfrequenz oder gleich 2π-fache der Frequenz f,
• λ ist die Wellenlänge der Welle.,

Wenn Sie identisch rechts – und Links-Reisen Wellen Reisen durch das Rohr, wird die resultierende überlagerung beschrieben wird durch die Summe

Δ p ( x , t ) = Δ p R ( x , t ) + Δ p L ( x , t ) = 2 p max sin ⁡ ( 2 π x λ ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}

Beachten Sie, dass diese Formel für den Druck die gleiche Form wie Gleichung (1) hat, so dass sich eine stationäre Druckwelle bildet, die im Raum fixiert ist und in der Zeit oszilliert.,

Wenn das Ende eines Rohres geschlossen ist, ist der Druck maximal, da das geschlossene Ende des Rohres eine Kraft ausübt, die die Luftbewegung einschränkt. Dies entspricht einem Druck anti-Knoten. Wenn das Ende des Rohres offen ist, sind die Druckschwankungen sehr gering, entsprechend einem Druckknoten. Die genaue Position des Druckknotens an einem offenen Ende liegt tatsächlich etwas über dem offenen Ende des Rohrs, so dass die effektive Länge des Rohrs zum Zwecke der Bestimmung der Resonanzfrequenzen etwas länger ist als seine physikalische Länge. Dieser Längenunterschied wird in diesem Beispiel ignoriert., In Bezug auf Reflexionen reflektieren offene Enden teilweise Wellen zurück in das Rohr, so dass etwas Energie in die Außenluft freigesetzt werden kann. Idealerweise reflektieren geschlossene Enden die gesamte Welle zurück in die andere Richtung.

Betrachten Sie zunächst eine Pfeife, die an beiden Enden offen ist, z. B. eine offene Orgelpfeife oder eine Blockflöte.,ds, die Randbedingungen sind analog zu der Zeichenfolge mit zwei festen Enden,

Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max sin ⁡ ( 2 π L λ ) cos ⁡ ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}

die nur auftritt, wenn die Wellenlänge stehender Wellen

λ = 2 L n, {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n ist = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3, \ ldots,}

oder äquivalent, wenn die Frequenz

f = n v 2 L, {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}

wobei v die Schallgeschwindigkeit ist.,

Betrachten Sie als nächstes ein Rohr, das offen ist und daher einen Druckknoten bei x = 0 und geschlossen hat und daher einen Druck-Antiknoten bei x = L. Beispiele hierfür sind eine Flasche und eine Klarinette. Diese Pipe hat Randbedingungen analog zu der Zeichenfolge mit nur einem festen Ende. Seine stehenden Wellen haben Wellenlängen beschränkt auf

λ = 4 L n, {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots,}

oder äquivalent ist die Frequenz stehender Wellen auf

f = n v 4 L beschränkt . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.,}

Beachten Sie, dass n für den Fall, dass ein Ende geschlossen ist, nur ungerade Werte annimmt, genau wie bei der Zeichenfolge, die nur an einem Ende festgelegt ist.

Bisher wurde die Welle in Bezug auf ihren Druck als Funktion von Position x und Zeit geschrieben., Alternativ kann die Welle in Bezug auf ihre Längsverschiebung von Luft geschrieben werden, wobei sich Luft in einem Segment des Rohrs leicht in x-Richtung hin und her bewegt, wenn der Druck variiert und Wellen in eine oder beide Richtungen wandern. Die Druckänderung Δp und Längsverschiebung s verwandt sind, die als

Δ p = − ρ v 2 ∂ s ∂ x , {\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}

wo ρ ist die Dichte der Luft., In Bezug auf die Längsverschiebung entsprechen geschlossene Enden von Rohren Knoten, da die Luftbewegung eingeschränkt ist und offene Enden Antiknoten entsprechen, da sich die Luft frei bewegen kann. Ein ähnliches, leichter zu visualisierendes Phänomen tritt in Längswellen auf, die sich entlang einer Feder ausbreiten.

Wir können auch ein Rohr betrachten, das an beiden Enden geschlossen ist. In diesem Fall sind beide Enden Druck-Antiknoten oder gleichwertig beide Enden Verschiebungsknoten., Dieses Beispiel ist analog zu dem Fall, in dem beide Enden offen sind, außer dass das Stehwellenmuster eine π⁄2-Phasenverschiebung entlang der x-Richtung aufweist, um die Position der Knoten und Anti-Knoten zu verschieben. Zum Beispiel ist die längste Wellenlänge, die mitschwingt–der Grundmodus–wieder doppelt so lang wie die Länge des Rohrs, mit der Ausnahme, dass die Enden des Rohrs Druck-Antiknoten anstelle von Druckknoten haben. Zwischen den Enden befindet sich ein Druckknoten., Bei zwei geschlossenen Enden ist die Wellenlänge wieder auf

λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}} n beschränkt = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots,}

und die Frequenz ist wieder auf

f = n v 2 L beschränkt . {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}

Eine Röhre von Rubens bietet eine Möglichkeit, die Druckschwankungen der stehenden Wellen in einer Röhre mit zwei geschlossenen Enden zu visualisieren.,

2D stehende Welle mit einer rechteckigen Begrenzungedit

Betrachten Sie als nächstes transversale Wellen, die sich entlang einer zweidimensionalen Oberfläche innerhalb einer rechteckigen Grenze der Länge Lx in x-Richtung und Länge Ly in y-Richtung bewegen können. Beispiele für diese Art von Welle sind Wasserwellen in einem Pool oder Wellen auf einem rechteckigen Blatt, das straff gezogen wurde. Die Wellen verdrängen die Oberfläche in z-Richtung, wobei z = 0 als Höhe der Oberfläche definiert ist, wenn sie still ist.,

In zwei Dimensionen und Koordinaten, die Wellengleichung

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}

wo

• z(x,y,t) ist die Verschiebung an der Oberfläche,
• c ist die Geschwindigkeit der Welle.

Um diese Differentialgleichung zu lösen, lösen wir zuerst für ihre Fourier-Transformation mit

Z ( x , y , ω) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) e − i ω t d t., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}

Nehmen Sie die Fouriertransformation der Wellengleichung,

∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = − ω 2 c 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}

Dies ist ein Eigenwertproblem, bei dem die Frequenzen Eigenwerten entsprechen, die dann frequenzspezifischen Modi oder Eigenfunktionen entsprechen. Insbesondere ist dies eine Form der Helmholtz-Gleichung und kann durch Trennung von Variablen gelöst werden., Übernehmen

Z = X ( x ) Y ( y ) . {\displaystyle Z=X(x)Y(y).}

die Aufteilung der Helmholtz-Gleichung durch Z,

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

Dies führt zu zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die x-Begriff entspricht, eine Konstante in Bezug auf x, die wir definieren können, wie

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 = ( i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}

die Lösung für X(x),

X ( x ) = A k x e i k x x + B k x e − i k x x . {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

Diese x-Abhängigkeit ist sinusförmig-unter Hinweis auf Eulers Formel-mit den Konstanten Akx und Bkx, die durch die Randbedingungen bestimmt werden., Ebenso wird die y-Begriff entspricht, eine Konstante mit Bezug auf y, die wir definieren können, wie

– 1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

und die dispersion relation für diese Welle ist daher

ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

die Lösung der Differentialgleichung für y ein Begriff,

Y ( y ) = C k y e i k y y + D k y e i k y y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

Multipliziert man diese Funktionen miteinander und wendet die inverse Fourier-Transformation an, ist z ( x,y,t) eine Überlagerung von Modi, wobei jeder Modus das Produkt sinusförmiger Funktionen für x, y und t ist,

z (x , y , t ) ∼ e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t. {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}

Die Konstanten, die die exakten Sinusfunktionen bestimmen, hängen von den Rand – und Anfangsbedingungen ab., Um zu sehen, wie die Randbedingungen gelten,betrachten Sie ein Beispiel wie das Blatt,das straff gezogen wurde, wobei z(x, y, t) um die rechteckige Grenze herum Null sein muss. Für die x-Abhängigkeit muss z(x,y,t) so variieren, dass es bei x = 0 und x = Lx für alle Werte von y und t Null sein kann.,tion, die diese Randbedingung erfüllt, ist

sin ⁡ k x x, {\displaystyle \sin {k_{x}x},}

mit kx beschränkt auf

k x = n π L x, n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }

Ebenso muss die y-Abhängigkeit von z(x,y,t) sowohl bei y = 0 als auch bei y = Ly Null sein , was durch

sin ⁡ k y y, k y = m π L y, m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }

Die Beschränkung der Wellenzahlen auf diese Werte beschränkt auch die Frequenzen, die mitschwingen, auf

ω = c π ( n L x ) 2 + (m L y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

Wenn die Anfangsbedingungen für z(x,y,0) und seine Zeitableitung ż(x,y,0) so gewählt werden, dass die t-Abhängigkeit eine Kosinusfunktion ist , dann haben stehende Wellen für dieses System die Form

z ( x , y, t ) = z max sin ⁡ ( n π x L x ) sin ⁡ ( m π y L y ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1 , 2 , 3, … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }

So schwingen stehende Wellen innerhalb dieser festen rechteckigen Grenze in der Zeit bei bestimmten Resonanzfrequenzen, die von den ganzen Zahlen n und m parametriert werden. Da sie in der Zeit schwingen, bewegen sie sich nicht und ihre räumliche Variation ist sowohl in x – als auch in y-Richtung sinusförmig, so dass sie die Randbedingungen erfüllen. Der Grundmodus, n = 1 und m = 1, hat einen einzigen Antinode in der Mitte des Rechtecks., Das Variieren von n und m ergibt komplizierte, aber vorhersehbare zweidimensionale Muster von Knoten und Antinoden innerhalb des Rechtecks.

Beachten Sie aus der Dispersionsbeziehung, dass in bestimmten Situationen verschiedene Modi–dh verschiedene Kombinationen von n und m–mit derselben Frequenz schwingen können, obwohl sie unterschiedliche Formen für ihre x – und y-Abhängigkeit haben. Wenn die Grenze beispielsweise quadratisch ist, Lx = Ly, schwingen die Modi n = 1 und m = 7, n = 7 und m = 1 und n = 5 und m = 5 alle bei

ω = c π L x 50 . {\displaystyle \omega ={\frac {K\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}