Alle regulären einfachen Polygone (ein einfaches Polygon ist eines, das sich nirgendwo schneidet) sind konvex. Diejenigen mit der gleichen Anzahl von Seiten sind ebenfalls ähnlich.

Ein n-seitiges konvexes reguläres Polygon wird mit seinem Schläfli-Symbol {n} bezeichnet. Für n < 3 haben wir zwei degenerierte Fälle:

Monogon {1} Degenerierte im gewöhnlichen Raum. (Die meisten Behörden betrachten das Monogon nicht als echtes Polygon, zum Teil deshalb, und auch weil die folgenden Formeln nicht funktionieren und seine Struktur nicht die eines abstrakten Polygons ist.,) Digon {2}; eine „doppelte Linie segment“ Entartete im ordentlichen Raum. (Einige Behörden betrachten das Digon aus diesem Grund nicht als echtes Polygon.)

In bestimmten Kontexten sind alle betrachteten Polygone regulär. Unter solchen Umständen ist es üblich, das Präfix regelmäßig fallen zu lassen. Zum Beispiel müssen alle Flächen einheitlicher Polyeder regelmäßig sein und die Flächen werden einfach als Dreieck, Quadrat, Fünfeck usw. beschrieben.,

AnglesEdit

Bei einem regulären konvexen n-gon hat jeder Innenwinkel ein Maß von:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} Grad; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}} Radiant; oder ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)} {2n}}} volle Umdrehungen,

Wenn sich n der Unendlichkeit nähert, nähert sich der Innenwinkel 180 Grad. Bei einem regulären Polygon mit 10.000 Seiten (Myriagon) beträgt der Innenwinkel 179,964°. Wenn die Anzahl der Seiten zunimmt, kann der Innenwinkel sehr nahe bei 180° liegen, und die Form des Polygons nähert sich der eines Kreises., Das Polygon kann jedoch niemals zu einem Kreis werden. Der Wert des Innenwinkels kann niemals genau 180° betragen, da der Umfang effektiv zu einer geraden Linie werden würde. Aus diesem Grund ist ein Kreis kein Polygon mit einer unendlichen Anzahl von Seiten.

diagonaledit

Für ein reguläres n-gon, das in einen Kreis mit Einheitsradius eingeschrieben ist, entspricht das Produkt der Abstände von einem bestimmten Scheitelpunkt zu allen anderen Scheitelpunkten (einschließlich benachbarter Scheitelpunkte und Scheitelpunkte, die durch eine Diagonale verbunden sind) n.,

Punkte im planeEdit

Für ein reguläres einfaches n-gon mit Circumradius R und Abständen di von einem beliebigen Punkt in der Ebene zu den Eckpunkten haben wir

∑ i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = (∑i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}} \ rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)} – R^{2})^{k} (S_{n}^{(2)})^{m-2k}},

und

S n (2 m) = (S n (2 ) ) m + Wasser k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k (m 2 k) ( 2 k k) ( S n ( 4 ) − (S n ( 2 ) ) 2 ) k ( S n ( 2 ) ) m-2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}} \ rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

wobei m {\displaystyle m} eine positive Ganzzahl kleiner als n {\displaystyle n} ist .,

Wenn L {\displaystyle L} ist der Abstand von einem willkürlichen Punkt in der Ebene um den Schwerpunkt eines regelmäßigen n {\displaystyle n} -Eck mit umkreisradius R {\displaystyle R} , dann

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,

wo m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Innenpunktedit

Bei einem regulären n-gon beträgt die Summe der senkrechten Abstände von jedem Innenpunkt zu den n Seiten das n-fache des Apothems: p. 72 (das Apothem ist der Abstand vom Zentrum zu einer beliebigen Seite). Dies ist eine Verallgemeinerung von Vivianis Satz für den Fall n=3.,sie, a und Fläche, A von regulären Polygonen von n Seiten und circumradius 1, mit der Basis, b eines Rechtecks mit der gleichen Fläche – die grüne Linie zeigt den Fall n = 6

Der Circumradius R vom Zentrum eines regulären Polygons zu einem der Scheitelpunkte bezieht sich auf die Seitenlänge s oder auf das Apothem a durch

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

Für konstruktive Polygone existieren algebraische Ausdrücke für diese Beziehungen; siehe Bizentrisches Polygon#Reguläre Polygone.,

Die Summe der Senkrechten von den Eckpunkten eines regulären n-gon zu einer beliebigen Linie, die tangential zum circumcircle ist, entspricht dem n-fachen des Circumradius.:p. 73

Die Summe der quadratischen Abstände von den Eckpunkten eines regulären n-gon zu einem beliebigen Punkt in seinem Kreis entspricht 2nR2, wobei R der Circumradius ist.:p. 73

Die Summe der quadratischen Abstände von den Mittelpunkten der Seiten eines regulären n-gon zu einem beliebigen Punkt im Kreis ist 2nR2-ns2 / 4, wobei s die Seitenlänge und R der Circumradius ist.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter gibt an, dass jedes Zonogon (ein 2m-gon, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind) in ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} oder m(m-1)/2 Parallelogramme zerlegt werden kann.Diese Kacheln sind als Teilmengen von Eckpunkten, Kanten und Flächen in orthogonalen Projektionen m-Cubes enthalten.,Dies gilt insbesondere für reguläre Polygone mit gleichmäßig vielen Seiten, wobei die Parallelogramme alle Rauten sind.Die Liste OEIS: A006245 gibt die Anzahl der Lösungen für kleinere Polygone an.,f eine konvexe reguläre n-seitige polygon mit Seiten s, umkreisradius R, apothem ein, und perimeter p ist gegeben durch

A = 1 2 n-s a = 1 2 p a = 1 4 n s 2 cot ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\rechts)}

Von allen n-Gons mit einem bestimmten Umfang ist derjenige mit der größten Fläche regulär.