Elementare proofEdit
Angenommen, P(p/q) = 0 für einige coprime p, q ∈ ℤ:
P ( p q ) = n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p-q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdot \ prod_ +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
An klaren Nenner,
n p n + a n − 1 p n − 1 q + ⋯ + a 1 p q n − 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n} – p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\neq I +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.,}
die Verlagerung des a0 Ausdruck auf der rechten Seite und das ausklammern von p auf der linken Seite erzeugt:
p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q n . {\displaystyle p\left(a_{n} – p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdot \ prod_ +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
Somit teilt p a0qn. Aber p ist coprime zu q und damit zu qn, also muss durch Euklids Lemma p den verbleibenden Faktor a0 teilen.
Auf der anderen Seite, die Verlagerung der ein Begriff auf der rechten Seite und das ausklammern von q auf der linken Seite erzeugt:
q ( n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − a n p n ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdot \ prod_ +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n} – p^{n}.}
Argumentation wie zuvor folgt, dass q ein teilt.
Nachweis über Gauss‘ lemmaEdit
Sollte es einen nicht trivialen Faktor dividieren alle Koeffizienten des Polynoms, dann kann man eine Division durch den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten, so erhalten Sie ein primitives Polynom-in dem Sinne, Gauss ‚ s lemma; dies ändert nicht die Menge der rationalen Wurzeln und stärkt nur die Teilbarkeit Bedingungen., Das Lemma sagt, dass, wenn die Polynomfaktoren in Q, dann ist es auch Faktoren in Z als Produkt der primitiven Polynome. Nun entspricht jede rationale Wurzel p / q einem Faktor des Grades 1 in Q des Polynoms, und sein primitiver Vertreter ist dann qx − p, unter der Annahme, dass p und q koprime sind. Aber jedes Vielfache in Z von qx-p hat einen Term, der durch q teilbar ist, und einen konstanten Term, der durch p teilbar ist, was die Aussage beweist., Dieses Argument zeigt, dass im Allgemeinen angenommen werden kann, dass jeder irreduzible Faktor von P ganzzahlige Koeffizienten und führende und konstante Koeffizienten hat, die die entsprechenden Koeffizienten von P