Ein Weg zur Darstellung der Möbius-strip embedded in drei-dimensionalen euklidischen Raum ist durch die Parametrisierung:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) sin ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} log ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(r)\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right).}

Breiteste isometrische Einbettung in 3-spaceEdit

Wenn ein glatter Möbius-Streifen in 3-spaceEdit rechteckig ist – das heißt, aus der Identifizierung von zwei gegenüberliegenden Seiten eines geometrischen Rechtecks mit Biegen, aber nicht Dehnen der Oberfläche-dann ist eine solche Einbettung bekanntermaßen möglich, wenn das Seitenverhältnis des Rechtecks größer als 3 ist {\displaystyle {\sqrt {3}}} , wobei die kürzeren Seiten identifiziert werden., (Bei einem kleineren Seitenverhältnis ist nicht bekannt, ob eine glatte Einbettung möglich ist.) Als Aspekt Verhältnis sinkt in Richtung 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , derartige Einbettung scheint Ansatz einer Form gedacht werden kann, wie ein Streifen von drei gleichseitigen Dreiecken, gefaltet übereinander zu besetzen, um ein gleichseitiges Dreieck.

Wenn der Möbius-Streifen im Dreiraum jedoch nur einmal kontinuierlich differenzierbar ist (Klasse C1), dann zeigt der Satz von Nash-Kuiper, dass keine Untergrenze existiert.,

Ein Verfahren zur Herstellung eines Möbius-Streifens aus einem rechteckigen Streifen, der zum einfachen Verdrehen und Verbinden zu breit ist (z. B. ein Rechteck nur eine Einheit lang und eine Einheit breit), besteht darin, zuerst die breite Richtung mit einer geraden Anzahl von Falten—einer „Akkordeonfalte“—hin und her zu falten, so dass der gefaltete Streifen schmal genug wird, dass er verdreht und verbunden werden kann, bis ein einziger Streifen lang genug verbunden werden kann. Bei zwei Falten würde beispielsweise ein 1 × 1-Streifen zu einem 1 × ⅓ -Faltstreifen werden, dessen Querschnitt die Form eines ‚N‘ hat und nach einer halben Drehung ein ‚N‘ bleiben würde., Dieser gefaltete Streifen, dreimal so lang wie breit, wäre lang genug, um sich dann an den Enden zu verbinden. Diese Methode funktioniert im Prinzip, wird aber nach ausreichend vielen Falten unpraktisch, wenn Papier verwendet wird. Mit normalem Papier kann diese Konstruktion flach gefaltet werden, wobei alle Papierschichten in einer einzigen Ebene liegen, aber mathematisch ist nicht klar, ob dies möglich ist, ohne die Oberfläche des Rechtecks zu dehnen.,

TOPOLOGIEEDIT

Der Möbius-Streifen ist ein zweidimensionaler kompakter Verteiler (d. h. Eine Oberfläche) mit Grenze. Es ist ein Standardbeispiel für eine Oberfläche, die nicht orientierbar ist. Tatsächlich ist der Möbius-Streifen der Inbegriff des topologischen Phänomens der Nonorientierbarkeit., Dies liegt daran, dass zweidimensionale Formen (Oberflächen) die untersten dimensionalen Formen sind, für die eine Nichtorientierbarkeit möglich ist, und der Möbius-Streifen die einzige Oberfläche ist, die topologisch ein Unterraum jeder nichtorientierbaren Oberfläche ist. Infolgedessen ist jede Oberfläche nur dann nicht orientierbar, wenn sie ein Möbius-Band als Subraum enthält.

Der Möbius-Streifen ist auch ein Standardbeispiel zur Veranschaulichung des mathematischen Konzepts eines Faserbündels. Insbesondere ist es ein nichttriviales Bündel über dem Kreis S1 mit seiner Faser gleich dem Einheitsintervall, I = ., Betrachtet man nur den Rand des Möbius-Streifens, ergibt sich ein nichttriviales Zweipunktbündel (oder Z2) über S1.

Computergrafikedit

Eine einfache Konstruktion des Möbius-Streifens, mit der er in Computergrafik-oder Modellierungspaketen dargestellt werden kann, ist:

• Nehmen Sie einen rechteckigen Streifen. Drehen Sie es um einen festen Punkt, nicht in seiner Ebene. Drehen Sie den Streifen bei jedem Schritt entlang einer Linie in seiner Ebene (der Linie, die den Streifen in zwei Teile teilt) und senkrecht zum Hauptorbitalradius. Die Oberfläche, die bei einer kompletten Umdrehung erzeugt wird, ist der Möbius-Streifen.,
• Nehmen Sie einen Möbius-Streifen und schneiden Sie ihn entlang der Mitte des Streifens. Dies bildet einen neuen Streifen, der ein Rechteck ist, das durch Drehen eines Endes eine ganze Umdrehung verbunden ist. Durch erneutes Abschneiden in der Mitte bildet dies zwei ineinandergreifende Ganzdrehstreifen.

Geometrie des offenen Möbius bandEdit

Es kann als eine Oberfläche mit konstanter positiver, negativer oder Nullkrümmung (Gaußsche) konstruiert werden., Bei negativer und Nullkrümmung kann das Möbiusband als (geodätisch) komplette Fläche aufgebaut werden, d.h. alle Geodäten („Geraden“ auf der Oberfläche) können unbegrenzt in beide Richtungen verlängert werden.

Konstante negative Krümmung: Wie die Ebene und der offene Zylinder gibt das offene Möbius-Band nicht nur eine vollständige Metrik der konstanten Krümmung 0 zu, sondern auch eine vollständige Metrik der konstanten negativen Krümmung, z. B. -1., Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, mit dem Modell der oberen Halbebene (Poincaré) der hyperbolischen Ebene ℍ zu beginnen, nämlich ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} mit der Riemannschen Metrik von (dx2 + dy2) / y2. Die orientierungserhaltenden Isometrien dieser Metrik sind alle Karten f: ℍ → ℍ der Form f (z): = (az + b) / (cz + d), wobei a, b, c, d reelle Zahlen sind, die ad − bc = 1 erfüllen. Hier ist z eine komplexe Zahl mit Im(z) > 0, und wir haben ℍ mit {z ∈ ℂ | Im (z) > 0} mit der erwähnten Riemannschen Metrik ausgestattet., Dann wird eine Orientierungsumkehr-Isometrie g von ℍ durch g(z) := −z gegeben, wobei z das komplexe Konjugat von z bezeichnet. Diese Tatsachen implizieren, dass die Abbildung h : ℍ → ℍ gegeben durch h(z) := -2⋅z eine Orientierungsumkehr-Isometrie von ℍ ist, die eine unendliche zyklische Gruppe G von Isometrien erzeugt. (Es kann als h(z) = (√2i z + 0) / (0z − I/√2) ausgedrückt werden, und sein Quadrat ist die Isometrie h(h(z)) := 4⋅z, die als (2z + 0) / (0z + 1⁄2) ausgedrückt werden kann.) Der Quotient ℍ / G der Wirkung dieser Gruppe kann leicht als topologisch ein Möbius-Band angesehen werden., Es ist aber auch leicht zu überprüfen, ob es vollständig und nicht kompakt ist, mit konstanter negativer Krümmung gleich -1.

Die Gruppe der Isometrien dieser Möbiusband ist eindimensional und isomorph zu der speziellen orthogonalen Gruppe SO (2).

(Konstante) Nullkrümmung: Dies kann auch als vollständige Oberfläche konstruiert werden, indem mit einem Teil der Ebene R2 begonnen wird, der durch 0 ≤ y ≤ 1 definiert ist, und (x, 0) mit (−x, 1) für alle x in R (die Realen) identifiziert wird. Die resultierende Metrik macht das offene Möbiusband zu einer (geodätisch) vollständigen ebenen Fläche (d. H. Mit einer gaußschen Krümmung gleich 0 überall)., Dies ist die einzige Metrik auf dem Möbius-Band, die bis zur gleichmäßigen Skalierung sowohl flach als auch vollständig ist.

Die Gruppe der Isometrien dieser Möbiusband ist eindimensional und isomorph zur orthogonalen Gruppe SO (2).

Konstante positive Krümmung:Ein Möbius-Band konstanter positiver Krümmung kann nicht vollständig sein, da bekannt ist, dass die einzigen vollständigen Flächen konstanter positiver Krümmung die Kugel und die projektive Ebene sind., Die projektive Ebene P2 der konstanten Krümmung +1 kann als Quotient der Einheitssphäre S2 in R3 durch die antipodale Karte A konstruiert werden: S2 → S2, definiert durch A (x, y, z) = (−x, −y, −z). Das offene Möbius-Band ist homöomorph zur einmal punktierten projektiven Ebene, dh P2, wobei ein Punkt entfernt wird. Dies kann als das nächste angesehen werden, das ein Möbius-Band mit konstanter positiver Krümmung zu einer vollständigen Oberfläche bringen kann: nur einen Punkt entfernt.

Die Gruppe der Isometrien dieses Möbius-Bandes ist ebenfalls eindimensional und isomorph zur orthogonalen Gruppe O (2).,

Der Raum unorientierter Linien in der Ebene ist diffeomorph zum offenen Möbiusband. Um zu sehen, warum, lassen Sie L (θ) die Linie durch den Ursprung in einem Winkel θ zur positiven x-Achse bezeichnen. Für jedes L(θ) gibt es die Familie P(θ) aller Linien in der Ebene, die senkrecht zu L (θ) stehen. Topologisch ist die Familie P(θ) nur eine Linie (weil jede Linie in P(θ) die Linie L(θ) in nur einem Punkt schneidet). Auf diese Weise stellt die Linie L(θ), wenn θ im Bereich 0° ≤ θ < 180° zunimmt, den Wert einer Linie mit unterschiedlichen Linien in der Ebene dar., Wenn θ jedoch 180° erreicht, ist L(180°) identisch mit L(0), und daher sind die Familien P(0°) und P(180°) senkrechter Linien auch identische Familien. Die Linie L(0°) ist jedoch zu sich selbst zurückgekehrt, als L(180°) in die entgegengesetzte Richtung zeigte. Jede Zeile in der Ebene entspricht genau einer Zeile in einer Familie P(θ), für genau eine θ, für 0° ≤ θ < 180° und P(180°) ist identisch mit P (0°), kehrt jedoch in die entgegengesetzte Richtung zurück. Dies stellt sicher, dass der Raum aller Linien in der Ebene – die Vereinigung aller L(θ) für 0° ≤ θ ≤ 180° – ein offenes Möbius-Band ist.,

Die Gruppe der bijektiven linearen Transformationen GL (2, R) der Ebene zu sich selbst (echte 2 × 2-Matrizen mit Determinante ungleich Null) induziert natürlich Bijektionen des Linienraums in der Ebene zu sich selbst, die eine Gruppe von Selbsthomomomorphismen des Linienraums bilden. Daher bildet dieselbe Gruppe eine Gruppe von Selbsthomomomorphismen der Möbius-Band, die im vorherigen Absatz beschrieben wurde. Es gibt jedoch keine Metrik über den Linienraum in der Ebene, die unter der Wirkung dieser Gruppe von Homöomorphismen invariant ist. In diesem Sinne hat der Linienraum in der Ebene keine natürliche Metrik.,

Dies bedeutet, dass das Möbius-Band eine natürliche 4-dimensionale Lie-Gruppe von Selbsthomomomorphismen besitzt, die durch GL(2, R) gegeben ist, aber dieser hohe Symmetriegrad kann nicht als die Gruppe von Isometrien einer Metrik dargestellt werden.

Möbius-Band mit runder boundaryEdit

Die Kante oder Grenze eines Möbius-Streifens ist homöomorph (topologisch äquivalent) zu einem Kreis. Unter den üblichen Einbettungen des Streifens im euklidischen Raum ist die Grenze wie oben kein echter Kreis., Es ist jedoch möglich, einen Möbius-Streifen in drei Dimensionen einzubetten, so dass die Grenze ein perfekter Kreis ist, der in einer Ebene liegt. Siehe beispielsweise die Abbildungen 307, 308 und 309 von „Geometry and the imagination“.

Eine viel geometrischere Einbettung beginnt mit einer minimalen kleinen Flasche, die in die 3-Kugel eingetaucht ist, wie von Blaine Lawson entdeckt. Wir nehmen dann die Hälfte dieser kleinen Flasche, um ein Möbius-Band in die 3-Kugel (die Einheitskugel im 4-Raum) einzubetten., Das Ergebnis wird manchmal als „Sudanese Möbius Band“ bezeichnet, wobei sich „sudanese“ nicht auf das Land Sudan bezieht, sondern auf die Namen der beiden Topologen Sue Goodman und Daniel Asimov. Die Anwendung der stereografischen Projektion auf die sudanesische Band platziert sie im dreidimensionalen Raum, wie unten zu sehen ist – eine Version von George Francis finden Sie hier.

Aus Lawsons minimalem Klein ergibt sich eine Einbettung des Bandes in die 3-Kugel S3, die als Teilmenge von C2 angesehen wird, die geometrisch mit R4 identisch ist., Wir zeigen die Winkel η, φ komplexen zahlen z1, z2 über

z-1 = sin ⁡ η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos ⁡ η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2}.}

Um eine Einbettung des Möbius-Streifens in R3 zu erhalten, bildet man S3 über eine stereographische Projektion auf R3 ab. Der Projektionspunkt kann ein beliebiger Punkt auf S3 sein, der nicht auf dem eingebetteten Möbius-Streifen liegt (dies schließt alle üblichen Projektionspunkte aus). Eine mögliche Wahl ist { 1 / 2 , i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}},E/{\sqrt {2}}\right\}} ., Stereographische Projektionen ordnen Kreise zu Kreisen und bewahrt die kreisförmige Grenze des Streifens. Das Ergebnis ist eine glatte Einbettung des Möbius-Streifens in R3 mit kreisförmiger Kante und ohne Selbstüberschneidungen.

Das sudanesische Möbius-Band in der Drei-Sphäre S3 ist geometrisch ein Faserbündel über einem großen Kreis, dessen Fasern große Halbkreise sind. Das symmetrischste Bild einer stereographischen Projektion dieses Bandes in R3 wird erhalten, indem ein Projektionspunkt verwendet wird, der auf dem großen Kreis liegt, der durch den Mittelpunkt jedes Halbkreises verläuft., Jede Wahl eines solchen Projektionspunkts führt zu einem Bild, das zu jedem anderen kongruent ist. Da ein solcher Projektionspunkt jedoch auf dem Möbiusband selbst liegt, unterscheiden sich zwei Aspekte des Bildes erheblich von dem Fall (siehe Abbildung oben), in dem sich der Punkt nicht auf dem Band befindet: 1) Das Bild in R3 ist nicht das vollständige Möbiusband, sondern das Band mit einem entfernten Punkt (von seiner Mittellinie); und 2) das Bild ist unbegrenzt – und da es immer weiter vom Ursprung von R3 entfernt wird, nähert es sich zunehmend einer Ebene an., Diese Version des stereografischen Bildes weist jedoch eine Gruppe von 4 Symmetrien in R3 auf (sie ist isomorph zur Klein-4-Gruppe), verglichen mit der oben dargestellten begrenzten Version mit ihrer Gruppe von Symmetrien der einzigartigen Gruppe der Ordnung 2. (Wenn alle Symmetrien und nicht nur orientierungserhaltende Isometrien von R3 zulässig sind, verdoppelt sich die Anzahl der Symmetrien jeweils.)

Aber die geometrisch symmetrischste Version von allen ist die ursprüngliche sudanesische Möbius-Band in der Drei-Sphäre S3, wo ihre vollständige Gruppe von Symmetrien isomorph zur Lügegruppe O ist(2)., Mit einer unendlichen Kardinalität (der des Kontinuums) ist dies weitaus größer als die Symmetriegruppe einer möglichen Einbettung des Möbius-Bandes in R3.

Projektive geometriEdit

Unter Verwendung der projektiven Geometrie kann ein offenes Möbiusband als die Menge von Lösungen für eine Polynomgleichung beschrieben werden. Das Hinzufügen einer polynomialen Ungleichung führt zu einem geschlossenen Möbius-Band. Diese beziehen sich auf die Geometrie von Linienbündeln und die Funktionsweise der Sprengung in der algebraischen Geometrie.

= { ( λ A , λ B ) : λ ∈ R ∖ { 0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda A,\lambda B):\lambda \in \vec {R} \setminus \{0\}\}.}

Eine Realisierung eines offenen Möbius-Bandes ergibt sich aus der Menge

M = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y } . {\displaystyle M=\{((x,y))\in \vec {R} ^{2}\times \vec {RP} ^{1}:Ax=By\}.,} M ‚= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}M’&=\{((x,y))\in \vec {R} ^{2}\times \vec {RP} ^{1}:Ax=By,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \vec {R} ^{3}:mx=y\},\end{aligned}}}

wo m entspricht A / B {\displaystyle A/B} .

Es gibt eine Realisierung des geschlossenen Möbius-Bandes als ähnliche Menge, jedoch mit einer zusätzlichen Ungleichung, um eine Grenze zu erzeugen:

N = {((x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}