Vor über 2000 Jahren entwickelte der griechische Mathematiker Euklid eine Liste von fünf Postulaten, auf denen Geometrie aufgebaut werden sollte. Einer von ihnen, der fünfte, entsprach einer Aussage, mit der wir alle vertraut sind: dass sich die Winkel in einem Dreieck auf 180 Grad summieren. Dieses Postulat schien jedoch nicht so offensichtlich zu sein wie die anderen vier auf Euklids Liste, daher versuchten Mathematiker, es von ihnen abzuleiten: Um zu zeigen, dass eine Geometrie, die den ersten vier Postulaten gehorcht, notwendigerweise dem fünften gehorchen würde., Ihr Kampf dauerte Jahrhunderte, aber am Ende scheiterten Sie. Sie fanden Beispiele für Geometrien, die dem fünften Postulat nicht gehorchen.

Sphärische geometrie

Sphärische Geometrie ist Geometrie auf einer Kugel. In der sphärischen Geometrie wird die euklidische Idee einer Linie zu einem großen Kreis, dh einem Kreis mit maximalem Radius, der sich direkt um den dicksten Teil der Kugel erstreckt. Es ist nicht mehr wahr, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks immer 180 Grad beträgt., Sehr kleine Dreiecke haben Winkel, die nur etwas mehr als 180 Grad summieren (weil aus der Perspektive eines sehr kleinen Dreiecks die Oberfläche einer Kugel fast flach ist). Größere Dreiecke haben Winkel, die sehr viel mehr als 180 Grad summieren.

Eine lustige Sache über die Länge der Zeit, die es brauchte, um sphärische Geometrie zu entdecken, ist, dass es die Geometrie ist, die auf der Erdoberfläche hält!, Aber wir bemerken es nie wirklich, weil wir im Vergleich zur Größe der Erde so klein sind, dass, wenn wir ein Dreieck auf den Boden zeichnen und seine Winkel messen, der Betrag, um den die Summe der Winkel 180 Grad überschreitet, so klein ist, dass wir es nicht erkennen können.

Die Kugel hat das, was Mathematiker positive Krümmung nennen, und das macht intuitiv Sinn., Es gibt jedoch eine andere Geometrie, die die Dinge in die andere Richtung lenkt:

Hyperbolische Geometrie

Die hyperbolische Geometrie ist nicht so einfach zu visualisieren wie die sphärische Geometrie, da sie nicht ohne Verzerrung im dreidimensionalen euklidischen Raum modelliert werden kann. Eine Möglichkeit, es zu visualisieren, heißt Poincaré Disc.

Nehmen Sie eine runde Scheibe, wie die, die durch den blauen Kreis in der Abbildung rechts begrenzt ist, und stellen Sie sich eine Ameise vor, die darin lebt., In der euklidischen Geometrie verläuft der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten innerhalb dieser Scheibe entlang einer geraden Linie. In der hyperbolischen Geometrie werden Abstände unterschiedlich gemessen, so dass der kürzeste Weg nicht mehr entlang einer euklidischen Geraden, sondern entlang des Kreisbogens verläuft, der im rechten Winkel auf die Grenze der Scheibe trifft, wie in der Abbildung rot dargestellt. Eine hyperbolische Ameise würde den geraden Weg als Umweg erleben — sie zieht es vor, sich entlang des Bogens eines solchen Kreises zu bewegen.

Ein hyperbolisches Dreieck, dessen Seiten Bögen dieser Halbkreise sind, hat Winkel, die sich auf weniger als 180 Grad summieren., Alle Schwarz-Weiß-Formen in der Abbildung links sind hyperbolische Dreiecke.

Eine Folge dieser neuen hyperbolischen Metrik ist, dass der Grenzkreis der Scheibe unendlich weit vom Standpunkt der hyperbolischen Ameise entfernt ist. Dies liegt daran, dass die Metrik Entfernungen in Bezug auf die gewöhnlichen euklidischen verzerrt. Pfade, die in der euklidischen Metrik gleich lang aussehen, sind in der hyperbolischen Metrik umso länger, je näher sie dem Grenzkreis liegen., Die folgende Abbildung zeigt eine Kachelung der hyperbolischen Ebene durch reguläre Heptagone. Aufgrund der verzerrten Metrik sind die Heptagone in der hyperbolischen Metrik alle gleich groß. Und wie wir sehen können, müsste die Ameise unendlich viele von ihnen durchqueren, um zum Grenzkreis zu gelangen — er ist unendlich weit weg!

Im Gegensatz zur Kugel mit ihrer positiven Krümmung ist die hyperbolische Ebene negativ gekrümmt., Sehr kleine Regionen davon haben die gleiche Art von Krümmung wie Sättel: Entlang einer Richtung sehen sie aus wie der Gipfel eines Bergrückens und entlang einer anderen Richtung sehen sie aus wie der Boden eines Tals.

Hyperbolische Geometrie mag wie ein fantasievolles mathematisches Konstrukt aussehen, hat aber reale Anwendungen. Als Einstein 1905 seine spezielle Relativitätstheorie entwickelte, stellte er fest, dass die Symmetrien der hyperbolischen Geometrie genau das waren, was er brauchte, um die Theorie zu formulieren., Heute glauben Mathematiker, dass hyperbolische Geometrie helfen kann, große Netzwerke wie Facebook oder das Internet zu verstehen.

Sie können mehr über hyperbolische Geometrie in nicht-euklidischer Geometrie und Indras Perlen lesen.