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Abschnitt 5-3: Punktprodukt

Manchmal wird das Punktprodukt als Skalarprodukt bezeichnet. Das Punktprodukt ist auch ein Beispiel für ein inneres Produkt und so können Sie gelegentlich hören, dass es ein inneres Produkt genannt wird.

Hier sind einige Eigenschaften des skalarprodukts.

Eigenschaften

Die Beweise für diese Eigenschaften sind meist „rechnerische“ Beweise, und so werden wir nur ein paar davon tun und den Rest Ihnen überlassen beweisen.,

Nachweis von \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec B\)

Beweis : Wenn \(\vec v\centerdot \vec v = 0\), dann \(\vec v = \vec 0\)

Wir haben dann das folgende theorem.

Theorem

\

Die Formel aus diesem Theorem wird häufig nicht verwendet, um ein Punktprodukt zu berechnen, sondern um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu finden., Beachten Sie auch, dass der Satz, während die Skizze der beiden Vektoren im Beweis für zweidimensionale Vektoren gilt, für Vektoren jeder Dimension gilt (solange sie natürlich die gleiche Dimension haben).

Lassen Sie uns ein Beispiel dafür sehen.

Das Punktprodukt gibt uns eine sehr schöne Methode, um zu bestimmen, ob zwei Vektoren senkrecht sind, und es gibt eine andere Methode, um zu bestimmen, wann zwei Vektoren parallel sind. Beachten Sie auch, dass wir oft den Begriff orthogonal anstelle von senkrecht verwenden.

Wenn nun zwei Vektoren orthogonal sind, wissen wir, dass der Winkel zwischen ihnen 90 Grad beträgt., Aus \(\eqref{eq:eq2}\) dies sagt uns, dass, wenn zwei Vektoren sind dann orthogonal,

\

Ebenso, wenn zwei Vektoren parallel sind, dann ist der Winkel zwischen Ihnen ist entweder 0 Grad (zeigt in die gleiche Richtung) oder 180 Grad (zeigt in die entgegengesetzte Richtung). Noch einmal mit \(\eqref{eq: eq2}\) Dies würde bedeuten, dass einer der folgenden wahr sein müsste.

\

Es gibt auch einige nette Anwendungen des Dot-Produkts, die wir uns ansehen sollten.,

Projektionen

Es gibt eine schöne Formel, um die Projektion von \(\vec b\) auf \(\vec a\) zu finden. Hier ist es,

Beachten Sie, dass wir auch hier sehr vorsichtig mit der Notation sein müssen. Die Projektion von \(\vec a\) auf \(\vec b\)ist gegeben durch

\

Hier ist ein Beispiel.

Zu Vergleichszwecken machen wir es auch umgekehrt.

Wie wir aus den beiden vorherigen Beispielen sehen können, sind die beiden Projektionen unterschiedlich, seien Sie also vorsichtig.,

Richtungskosinus

Diese Anwendung des Punktprodukts erfordert, dass wir uns im Gegensatz zu allen anderen Anwendungen, die wir uns bis zu diesem Punkt angesehen haben, im dreidimensionalen Raum befinden.

Hier ist eine Skizze eines Vektors und der Richtungswinkel.

Die Formeln für die Richtung Cosinus sind,

Lassen Sie uns das erste Punktprodukt oben überprüfen. Den Rest überlassen wir Ihnen zur Überprüfung.

\

Hier sind ein paar nette Fakten über die Richtung Gemütlichkeit.

Machen wir ein kurzes Beispiel mit Richtungskosinus.