Sie können sich aus Algebra und Kalkül daran erinnern, dass eine Funktion eins zu eins und eins sein kann, und diese Eigenschaften hängen davon ab, ob die Funktion invertierbar ist oder nicht. Wir überprüfen nun diese wichtigen Ideen. In der fortgeschrittenen Mathematik wird das Wort injektiv häufig anstelle von eins zu eins verwendet, und surjektiv wird anstelle von onto verwendet. Hier sind die genauen Definitionen:

Unten finden Sie eine visuelle Beschreibung von Definition 12.4., Im Wesentlichen bedeutet injective, dass ungleiche Elemente in A immer an ungleiche Elemente in B gesendet werden Surjective bedeutet, dass jedes Element von B einen Pfeil hat, der darauf zeigt, das heißt, es ist gleich f(a) für einige a im Bereich von f.

Es gibt vier mögliche injective/surjective Kombinationen, die eine Funktion besitzen kann. Dies ist unten für vier Funktionen \(A \rightarrow B\) dargestellt. Funktionen in der ersten Spalte sind injizierend, diejenigen in der zweiten Spalte sind nicht injizierend. Funktionen in der ersten Zeile sind surjektiv, die in der zweiten Zeile nicht.,

Wir stellen nebenbei fest, dass eine Funktion gemäß den Definitionen nur dann projektiv ist, wenn ihre Codomain ihrem Bereich entspricht.

So zeigen Sie eine Funktion \(f : A \rightarrow B\) ist injektiv:

Von diesen beiden Ansätzen ist das Kontrapositiv oft am einfachsten zu verwenden, insbesondere wenn f durch eine algebraische Formel definiert ist. Dies liegt daran, dass der kontrapositive Ansatz mit der Gleichung \(f(a) = f(a‘)\) beginnt und zur Gleichung \(a = a’\) übergeht. Wie Sie wissen, ist es in der Algebra normalerweise einfacher, mit Gleichungen als mit Ungleichungen zu arbeiten.,

So zeigen Sie eine Funktion \(f: A \rightarrow B\) ist surjective:

Angenommen \(b \in B\).

Training \(\PageIndex{1}\)

Sei \(A= \{1,2,3,4\}\) und \(B = \{a,b,c\}\). Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion \(f : A \rightarrow B\), die weder injektiv noch surjektiv ist.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.