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la Sección 5-3 : Producto escalar

a Veces, el producto escalar se llama el producto escalar. El producto punto es también un ejemplo de un producto interior y así en ocasiones se puede escuchar que se llama un producto interior.

Aquí están algunas propiedades del producto Punto.

propiedades

las pruebas de estas propiedades son en su mayoría pruebas «Computacionales», por lo que solo vamos a hacer un par de ellas y dejar el resto para que lo pruebes.,

> Prueba de \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

> Prueba de : Si \(\vec v\centerdot \vec v = 0\), entonces \(\vec v = \vec 0\)

entonces podemos tener el siguiente teorema.

Teorema

Proof

la fórmula de este teorema se utiliza a menudo no para calcular un producto escalar, sino para encontrar el ángulo entre dos vectores., Observe también que mientras que el bosquejo de los dos vectores en la demostración es para los vectores bidimensionales el teorema es válido para los vectores de cualquier dimensión (mientras tengan la misma dimensión por supuesto).

veamos un ejemplo de esto.

el producto escalar nos da un método muy bueno para determinar si dos vectores son perpendiculares y nos dará otro método para determinar cuando dos vectores son paralelos. Tenga en cuenta también que a menudo vamos a utilizar el término ortogonal en lugar de perpendicular.

ahora, si dos vectores son ortogonales entonces sabemos que el ángulo entre ellos es de 90 grados., De \(\eqref{eq: eq2}\) esto nos dice que si dos vectores son ortogonales entonces,

\

igualmente, si dos vectores son paralelos entonces el ángulo entre ellos es 0 grados (apuntando en la misma dirección) o 180 grados (apuntando en la dirección opuesta). Una vez más usando \(\eqref{eq:eq2}\) esto significaría que uno de los siguientes tendría que ser verdadero.

\

Hay varias buenas aplicaciones del producto punto también que debemos mirar.,

Proyecciones

No es una buena fórmula para encontrar la proyección de \(\vec b\) en \(\vec un\). Aquí es,

tenga en cuenta que también tenemos que ser muy cuidadosos con la notación aquí. La proyección de \(\vec a\) Sobre \(\vec b\)viene dada por

\

Aquí hay un ejemplo.

para fines de comparación, hagámoslo al revés también.

como podemos ver en los dos ejemplos anteriores, las dos proyecciones son diferentes, así que tenga cuidado.,

cosenos de dirección

Esta aplicación del producto Punto requiere que estemos en un espacio tridimensional a diferencia de todas las otras aplicaciones que hemos visto hasta este punto.

Aquí hay un bosquejo de un vector y los ángulos de dirección.

Las fórmulas para los cosenos de dirección son,

vamos a verificar el primer producto de punto anterior. Le dejaremos el resto para que lo verifique.

\

Aquí hay un par de datos interesantes sobre los cosenos de dirección.

hagamos un ejemplo rápido que involucre cosenos de dirección.