Usted puede recordar de álgebra y cálculo que una función puede ser uno-a-uno y sobre, y estas propiedades están relacionadas con si la función es o no invertible. Ahora revisamos estas importantes ideas. En matemáticas avanzadas, la palabra inyectiva se usa a menudo en lugar de uno a uno, y sobreyectiva se usa en lugar de onto. Aquí están las definiciones exactas:

a continuación se muestra una descripción visual de la definición 12.4., En esencia, inyectivo significa que los elementos desiguales en A Siempre se envían a elementos desiguales en B. Surjectivo significa que cada elemento de B tiene una flecha apuntando a él, es decir, es igual a f (a) para algunos A en el dominio de f.

hay cuatro combinaciones inyectivas/surjectivas posibles que una función puede poseer. Esto se ilustra a continuación para cuatro funciones \(a \rightarrow B\). Las funciones de la primera columna son inyectivas, las de la segunda columna no son inyectivas. Las funciones de la primera fila son sobreyectivas, las de la segunda fila no lo son.,

notamos de pasada que, de acuerdo con las definiciones, una función es sobreyectiva si y solo si su codominio es igual a su rango.

Cómo mostrar una función \(f: a \rightarrow B\) es inyectiva:

de estos dos enfoques, la contrapositiva es a menudo la más fácil de usar, especialmente si f está definida por una fórmula algebraica. Esto se debe a que el enfoque contrapositivo comienza con la ecuación \(f(A) = f (A’)\) y procede a la ecuación \(a = a’\). En álgebra, como saben, es generalmente más fácil trabajar con ecuaciones que con desigualdades.,

Cómo mostrar una función \(f: a \rightarrow B\) es superjectiva:

Suppose \(b \in b\).

ejercicio \(\PageIndex{1}\)

Let \(a= \{1,2,3,4\}\) y \(B = \{a,b,c\}\). Dé un ejemplo de una función \(f: a \rightarrow B\) que no es ni inyectiva ni sobreyectiva.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.