(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Om vågor färdas med hastighet v längs strängen, är frekvensen för de stående vågorna likvärdigt begränsad till

f = v λ = n v 2 l . {\displaystyle f ={\frac {v}{\lambda}} = {\frac {nv}{2l}}.}

den stående vågen med n = 1 oscillerar vid den grundläggande frekvensen och har en våglängd som är dubbelt så lång som strängen. Högre heltal värden av n motsvarar lägen av oscillation kallas övertoner eller övertoner. Varje stående våg på strängen kommer att ha n + 1 noder inklusive de fasta ändarna och n anti-noder.,

för att jämföra detta exempel noder med beskrivningen av noder för stående vågor i strängen oändlig längd, notera att ekvation (2) kan skrivas om som

λ = 4 l n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n = 2,4,6,\ldots }

i denna variation av uttrycket för våglängden måste n vara jämn., Cross multiplying vi ser att eftersom L är en nod är det en jämn multipel av en kvartvåglängd,

l = n λ 4, {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

det här exemplet visar en typ av resonans och de frekvenser som producerar stående vågor kan kallas resonansfrekvenser.

stående våg på en sträng med en fast endEdit

tänk sedan på samma sträng av längd L, men den här gången är den bara fast vid x = 0. Vid x = L är strängen fri att röra sig i Y-riktningen., Strängen kan till exempel vara bunden vid x = L till en ring som kan glida fritt upp och ner en stolpe. Strängen har återigen liten dämpning och drivs av en liten drivkraft vid x = 0.

i det här fallet beskriver ekvation (1) fortfarande det stående vågmönstret som kan bildas på strängen, och strängen har samma gränstillstånd för y = 0 vid x = 0. Men vid x = l där strängen kan röra sig fritt bör det finnas en anti-nod med maximal amplitud av y. granska ekvation (1), för x = L den största amplituden av y uppstår när

Sin ( 2 π l λ) = 1., {\displaystyle \synd \left({2\pi L \över \lambda }\right)=1.}

detta leder till en annan uppsättning våglängder än i exemplet med två fasta ändar. Här är våglängden för de stående vågorna begränsad till

λ = 4 l n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots }

likvärdigt är frekvensen begränsad till

f = n V 4 l . {\displaystyle F = {\frac {NV}{4L}}.}

Observera att i detta exempel n endast tar udda värden. Eftersom L är en anti-nod, det är en udda multipel av en fjärdedel våglängd., Således har det grundläggande läget i detta exempel bara en fjärdedel av en komplett sinuscykel-noll vid x = 0 och den första toppen vid x = l–den första harmoniska har tre fjärdedelar av en komplett sinuscykel och så vidare.

det här exemplet visar också en typ av resonans och frekvenserna som producerar stående vågor kallas resonansfrekvenser.

stående våg i en pipeEdit

överväga en stående våg i ett rör av längd L., Luften inuti röret fungerar som medium för längsgående ljudvågor som reser till höger eller vänster genom röret. Medan de tvärgående vågorna på strängen från de tidigare exemplen varierar i deras förskjutning vinkelrätt mot vågrörelsens riktning, varierar vågorna som rör sig genom luften i röret när det gäller deras tryck och längsgående förskjutning längs vågrörelsens riktning., Vågen sprider sig genom växelvis komprimering och expanderande luft i rörsegment, vilket förskjuter luften något från viloläget och överför energi till närliggande segment genom de krafter som utövas av det växlande höga och låga lufttrycket. Ekvationer som liknar de för våg på en sträng kan skrivas för förändringen i tryck Δp på grund av en höger – eller vänsterresande våg i röret.,

Δ p R ( x , t ) = p max sin ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta P_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p max sin ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta P_{\text{l}} (, t)=P_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \Lambda }+\Omega t\right),}

där

• Pmax är tryckamplituden eller den maximala ökningen eller minskningen av lufttrycket på grund av varje våg,
• ω är vinkelfrekvensen eller likvärdigt 2π gånger frekvensen f,
• λ är våglängden för vågen.,

om identiska höger – och vänsterresande vågor färdas genom röret beskrivs den resulterande superpositionen av summan

Δ P (x , t ) = Δ P R ( x , t ) + Δ P L ( x, T ) = 2 p max sin ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) . {\displaystyle \ Delta P (x,t)=\Delta p_{\text{r}}(x,t)+\Delta P_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}

Observera att denna formel för trycket är av samma form som ekvation (1), Så en stationär tryckvåg bildas som är fixerad i rymden och oscillerar i tid.,

om rörets ände är stängd är trycket maximalt eftersom rörets slutna ände utövar en kraft som begränsar luftens rörelse. Detta motsvarar en tryck anti-nod. Om rörets ände är öppen är tryckvariationerna mycket små, vilket motsvarar en trycknod. Den exakta placeringen av trycknoden vid en öppen ände är faktiskt något bortom rörets öppna ände, så rörets effektiva längd för att bestämma resonansfrekvenserna är något längre än dess fysiska längd. Denna skillnad i längd ignoreras i det här exemplet., När det gäller reflektioner reflekterar öppna ändar delvis vågor tillbaka in i röret, vilket gör att viss energi kan släppas ut i utomhusluften. Helst reflekterar slutna ändar hela vågen tillbaka i andra riktningen.

tänk först på ett rör som är öppet i båda ändarna, till exempel ett öppet orgelrör eller en inspelare.,DS, gränsförhållandena är analoga med strängen med två fasta ändar,

Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta P(0,t)=0,} Δ P ( L , T ) = 2 p max sin Sin ( 2 π l λ ) cos ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(l,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi l \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}

som endast uppstår när våglängden för stående vågor är

λ = 2 l n , {\displaystyle \Lambda ={\frac {2l}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n = 1,2,3,\ldots,}

eller likvärdigt när frekvensen är

f = n v 2 l , {\displaystyle f={\frac {NV}{2l}},}

där V är ljudets hastighet.,

därefter överväga ett rör som är öppet och har därför en trycknod vid x = 0 och stängt och har därför en trycknod vid X = L. exempel inkluderar en flaska och en klarinett. Detta rör har gränsförhållanden som är analoga med strängen med endast en fast ände. Dess stående vågor har våglängder begränsade till

λ = 4 l n , {\displaystyle \lambda = {\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots ,}

eller likvärdigt är frekvensen av stående vågor begränsad till

f = n v 4 l . {\displaystyle F = {\frac {NV}{4L}}.,}

Observera att för det fall där den ena änden är stängd tar n bara udda värden precis som för strängen som är fixerad vid endast en ände.

hittills har vågen skrivits i termer av dess tryck som en funktion av position x och tid., Alternativt kan vågen skrivas i termer av dess längsgående förskjutning av luft, där luft i ett segment av röret rör sig fram och tillbaka något i X-riktning som trycket varierar och vågor färdas i endera eller båda riktningarna. Förändringen i tryck Δp och longitudinell förskjutning s är relaterade som

Δ p − – ρ v 2 s s x, {\displaystyle \ Delta p= – \ Rho v^{2} {\frac {\partial s} {\partial x}},}

där ρ är luftens densitet., När det gäller längsgående förskjutning motsvarar slutna ändar av rör noder eftersom luftrörelsen är begränsad och öppna ändar motsvarar Anti-noder eftersom luften är fri att röra sig. Ett liknande, lättare att visualisera fenomen förekommer i längsgående vågor som sprids längs en fjäder.

Vi kan också överväga ett rör som är stängt i båda ändarna. I det här fallet kommer båda ändarna att vara trycknoder eller likvärdigt kommer båda ändarna att vara förskjutningsnoder., Detta exempel är analogt med det fall där båda ändarna är öppna, förutom att stående vågmönstret har ett π-fasförskjutning längs X-riktningen för att flytta platsen för noderna och anti-noderna. Till exempel är den längsta våglängden som resonerar-det grundläggande läget-igen dubbelt så lång som rörets längd, förutom att rörets ändar har tryck anti-noder istället för trycknoder. Mellan ändarna finns en trycknod., När det gäller två slutna ändar är våglängden återigen begränsad till

λ = 2 l n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {2l}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n = 1,2,3,\ldots ,}

och frekvensen är återigen begränsad till

f = n v 2 L . {\displaystyle F = {\frac {NV}{2l}}.}

ett Rubens ’ rör ger ett sätt att visualisera tryckvariationerna hos de stående vågorna i ett rör med två slutna ändar.,

2D stående våg med en rektangulär bundna

nästa, överväga tvärgående vågor som kan röra sig längs en tvådimensionell yta inom en rektangulär gräns av längd Lx i X-riktning och längd Ly i Y-riktning. Exempel på denna typ av våg är vattenvågor i en pool eller vågor på ett rektangulärt ark som har dragits spänd. Vågorna förskjuter ytan i z-riktningen, med z = 0 definierad som höjden på ytan när den fortfarande är.,

I två dimensioner och Kartesiska koordinater vågekvationen är

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\höger)}

om

• z(x,y,t) är den förskjutning av ytan,
• c är hastigheten för våg.

för att lösa denna differentialekvation, låt oss först lösa för sin Fouriertransform, med

Z ( x, y, ω) = (x , y , t) e − i ω t d t ., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-jag\omega t}dt.}

ta Fouriertransformen av vågekvationen,

2 Z x 2 + 2 z y 2 = – ω 2 c 2 Z (x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z} {\partial x^{2}}} + {\frac {\partial ^{2}Z} {\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}} Z (x, y,\omega ).}

detta är ett egenvärde problem där frekvenserna motsvarar egenvärden som sedan motsvarar frekvensspecifika lägen eller egenfunktioner. Specifikt är detta en form av Helmholtz ekvation och det kan lösas med hjälp av separation av variabler., Antag

Z = X ( x ) Y ( y ) . {\displaystyle Z=X(x)Y(y).}

dividera Helmholtz ekvation med Z,

1 x ( x) 2 x 2 + 1 y ( y) 2 Y Y Y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X (x)}} {\frac {\partial ^{2}x} {\partial x^{2}}} + {\frac {1}{Y (y)}} {\frac {\partial ^{2}Y} {\partial y^{2}}} + {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

detta leder till två kopplade vanliga differentialekvationer. X-termen är lika med en konstant med avseende på x som vi kan definiera som

1 X ( x) 2 x 2 = ( i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}

lösning för X (x),

X ( x) = A k x e i K x + B k x e − i k x x . {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

detta X-beroende är sinusformad-påminner Euler formel-med konstanter Akx och Bkx bestäms av gränsförhållandena., På samma sätt motsvarar y − termen en konstant med avseende på y som vi kan definiera som

1 y ( y) 2 Y y 2 = ( i k y ) 2 = K x 2-ω 2 c 2, {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2} – {\frac {\omega ^{2}}{C^{2}}},}

och dispersionsrelationen för denna våg är därför

ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \ omega =C {\sqrt {K_{x}^{2} + k_{y}^{2}}}.}

lösa differentialekvationen för y-termen,

Y ( y ) = c k y e i k y + d k y e − i k y y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

multiplicera dessa funktioner tillsammans och tillämpa inverse Fourier transform, z(x,y,t) är en superposition av lägen där varje läge är en produkt av sinusformade funktioner för x, y, och t,

z ( x , y , t) e ± i k x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z (x,y, T)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}

konstanterna som bestämmer de exakta sinusformade funktionerna beror på gränsförhållandena och de ursprungliga förhållandena., För att se hur gränsvillkoren gäller, överväga ett exempel som arket som har dragits spänt där z (x,y,t) måste vara noll runt den rektangulära gränsen. För X-beroendet måste z (x,y,t) variera på ett sätt som kan vara noll vid både x = 0 och x = Lx för alla värden på y och t.,n som uppfyller detta gränsvillkor är

sin k x x, {\displaystyle \ sin {K_{x}x},}

med KX begränsat till

k x = n π L x, n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle K_{x}={\frac {n\pi }{l_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }

likaså måste y-beroendet av z(x, y,t) vara noll vid både y = 0 och y = Ly,vilket är uppfyllt av

sin k y y, k y = m π l y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \ sin {K_{y}y}, \ quad K_{y}={\frac {m\pi }{l_{y}}},\quad m = 1,2,3,\dots }

att begränsa vågnumren till dessa värden begränsar också frekvenserna som resonerar till

ω = c π (n L x ) 2 + (m l y) 2 ., {\displaystyle \ omega =C \ pi {\sqrt {\left ({\frac {n}{l_{x}}}\right)^{2}+\left ({\frac {m}{l_{y}}}\right)^{2}}}.}

om de ursprungliga villkoren för z(x,y,0) och dess tidsderivat ż(x,y,0) väljs så är t-beroende en cosinusfunktion, då stående vågor för detta system tar formen

z ( x , y , T ) = z max sin (n π x L x ) sin ( M π y l y) cos ( ω t). {\displaystyle z (x, y,T)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{l_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{l_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1 , 2 , 3 , … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3, \ dots \ quad m = 1,2,3,\dots }

så, stående vågor inuti denna fasta rektangulära gräns oscillerar i tid vid vissa resonansfrekvenser parametrerade av heltalet n och m. när de oscillerar i tid, reser de inte och deras rumsliga variation är sinusformad i både x – och y-riktningarna så att de uppfyller gränsförhållandena. Det grundläggande läget, n = 1 och m = 1, har en enda antinod i mitten av rektangeln., Varierande n och m ger komplicerade men förutsägbara tvådimensionella mönster av noder och antinoder inuti rektangeln.

Observera från dispersionsrelationen att i vissa situationer kan olika lägen–vilket betyder olika kombinationer av n och m–resonera med samma frekvens även om de har olika former för deras x – och y-beroende. Till exempel om gränsen är kvadratisk, LX = Ly, motsvarar lägena n = 1 och m = 7, n = 7 och M = 1, och n = 5 och m = 5 Alla vid

ω = c π L x 50 . {\displaystyle \ omega ={\frac {C \ pi }{l_{x}}} {\sqrt {50}}.}