alla vanliga enkla polygoner (en enkel polygon är en som inte skär sig någonstans) är konvexa. De som har samma antal sidor är också lika.

en n-sidig konvex regelbunden polygon betecknas med dess Schläfli symbol {n}. För n< 3 har vi två degenererade fall:

Monogon {1} degenerera i vanligt utrymme. (De flesta myndigheter betraktar inte monogonen som en sann polygon, delvis på grund av detta, och också för att formlerna nedan inte fungerar, och dess struktur är inte den för någon abstrakt polygon.,) Digon {2}; Ett” dubbellinjesegment ” degenererar i vanligt utrymme. (Vissa myndigheter betraktar inte digon som en sann polygon på grund av detta.)

i vissa sammanhang kommer alla polygoner som beaktas att vara regelbundna. Under sådana omständigheter är det vanligt att släppa prefixet regelbundet. Till exempel måste alla ansikten av enhetlig polyhedra vara regelbundna och ansikten kommer att beskrivas helt enkelt som triangel, fyrkant, pentagon etc.,

AnglesEdit

för en vanlig konvex n-gon har varje invändig vinkel ett mått på:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} grader; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radianer; eller ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2) n-2)} {2N}}} fulla varv,

När n närmar sig oändligheten, närmar sig den inre vinkeln 180 grader. För en vanlig polygon med 10 000 sidor (en myriagon) är den inre vinkeln 179.964°. När antalet sidor ökar kan den inre vinkeln komma mycket nära 180°, och polygonens form närmar sig en cirkel., Polygonen kan dock aldrig bli en cirkel. Värdet på den inre vinkeln kan aldrig bli exakt lika med 180°, eftersom omkretsen effektivt skulle bli en rak linje. Av denna anledning är en cirkel inte en polygon med ett oändligt antal sidor.

DiagonalsEdit

För en vanlig n-gon inskriven i en enhet-radie cirkel, produkten av avstånden från en given vertex till alla andra hörn (inklusive intilliggande hörn och hörn anslutna med en diagonal) är lika med n.,

poäng i planeEdit

för en vanlig enkel n-gon med circumradius R och avstånd di från en godtycklig punkt i planet till vertikalerna, vi har

i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = (i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i = 1}^{n}d_{i}^{4}}{n}} + 3R^{4}= \ left ({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+r^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle s_{N}^{(2m)} = (s_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor } {\binom {m}{2K}} {\binom {2K}{k}}r^{2K} (s_{n}^{(2)}-r^{2})^{k} (s_{n}^{(2)})^{m-2K}} ,

och

S N ( 2 m ) = ( s n ( 2)) m + vatten k = 1 m 2 Första hjälpen 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( s n ( 4 ) − ( S N ( 2 ) ) 2 ) k ( s n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle s_{N}^{(2M)} = (s_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor } {\frac {1}{2^{k}}} {\binom {m}{2K}} {\binom {2K}{k}} (s_{n}^{(4)} – (s_{n}^{(2)})^{2})^{k} (s_{n}^{(2)})^{m-2K}},

där m {\displaystyle M} är ett positivt heltal mindre än n {\displaystyle n} .,

Om L {\displaystyle L} är avståndet från en godtycklig punkt i planet till centroid av en vanlig n {\displaystyle n} -gon med circumradius R {\displaystyle r} , då

i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + k = 1 displaystyle M 2 ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 K L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle displaystyle \sum _{I=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((r^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\Binom {m}{2K}}{\binom {2K}{k}}r^{2K}l^{2K}(r^{2}+L^{2})^{m-2K})} ,

där m {\displaystyle M} = 1,2,…, n {\displaystyle N} -1.,

interiör pointsEdit

för en vanlig n-gon, summan av de vinkelräta avstånden från varje inre punkt till n sidor är N gånger apothem: s. 72 (apothem är avståndet från centrum till någon sida). Detta är en generalisering av Vivianis teorem för N=3-fallet.,dem, en och område, En regelbunden polygon med n sidor och circumradius 1, med basen, b av en rektangel med samma area – den gröna linjen visar fallet n = 6

circumradius R från centrum av en regelbunden polygon till en av de vertexpunkter som är relaterade till sidans längd s eller apothem en av

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\synd \left({\frac {\pi }{n}}\höger)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\höger)}}}

För konstruerbara månghörningar, algebraiska uttryck för dessa relationer finns, se Bicentric polygon#Regelbundna polygoner.,

summan av perpendiklarna från en vanlig n-gons hörn till någon linje tangent till circumcircle är lika med n gånger circumradius.: P. 73

summan av de kvadrerade avstånden från en vanlig n-gon till någon punkt på sin circumcircle är lika med 2nR2 där R är circumradius.: P. 73

summan av de kvadrerade avstånden från mittpunkterna på sidorna av en vanlig n-gon till någon punkt på circumcircle är 2nR2-ns2 / 4, där S är sidolängden och R är circumradius.:p., 73

3 (i = 1 n d i 2) 2 = 2 n i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3 (\sum _{i = 1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2N \ sum _{i = 1}^{n}d_{i}^{4}} .

Dissektionsedit

Coxeter säger att varje zonogon (en 2M-gon vars motsatta sidor är parallella och lika långa) kan dissekeras till ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} eller M(M-1)/2 parallellogram.Dessa lutningar finns som delmängder av hörn, kanter och ansikten i ortogonala utsprång m-kuber.,I synnerhet gäller detta för vanliga polygoner med jämnt många sidor, i vilket fall parallellogrammen är alla rhombi.Listan OEIS: A006245 ger antalet lösningar för mindre polygoner.,f är en konvex regelbunden n-sidig polygon med sidan s, circumradius R, apothem en, och omkretsen p ges av

A = 1 2 n s a = 1 2 s a = 1 4 n-s 2 barnsäng ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\synd \left({\tfrac {2\pi }{n}}\höger)}

av alla n-gons med en given omkrets är den med det största området regelbundet.