elementär korrekturläsare
Antag P(p/q) = 0 för någon coprime p, q:
p ( p q ) = n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + + A 1 ( p Q ) + A 0 = 0. {\displaystyle P ({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n} ({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1} ({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +A_{1} ({\tfrac {p}{q}}) + a_{0} \ = \ 0.}
för att rensa nämnare,
n p n + a n − 1 p n − 1 q + + A 1 p q n − 1 + A 0 q n = 0. {\displaystyle A_{n}p^{n} + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots + A_{1}pq^{n-1} + a_{0}q^{n} = 0.,}
flytta A0 termen till höger och factoring ut p på vänster sida producerar:
p (a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + + a 1 q n − 1 ) = − A 0 q n . {\displaystyle P\left (a_{n}p^{n-1} + a_{n-1}QP^{n-2} + \cdots + A_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
således delar p a0qn. Men p är coprime till q och därför till qn, så av Euclids lemma p måste dela upp den återstående faktorn a0.
å andra sidan, flytta en term till höger och factoring ut q på vänster sida producerar:
q (A N – 1 p n-1 + A N-2 q p n-2 + s + a 0 q n-1) = − a n p n ., {\displaystyle q\left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}QP^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
resonemang som tidigare följer att q delar upp en.
bevis med Gauss’ lemmaEdit
bör det finnas en icke-trivial faktor som delar alla koefficienter i polynomet, då kan man dela med den största gemensamma divisorn av koefficienterna för att få ett primitivt polynom i betydelsen Gauss lemma; detta förändrar inte uppsättningen rationella rötter och förstärker endast delningsförhållandena., Att lemma säger att om polynomfaktorerna I Q, så faktorer det också i Z som en produkt av primitiva polynom. Nu motsvarar någon rationell rot p/q en faktor av grad 1 I Q i polynomet, och dess primitiva representant är då qx − p, förutsatt att p och q är coprime. Men någon multipel i Z av qx – P har ledande term delbar med q och konstant term delbar med p, vilket visar uttalandet., Detta argument visar att mer allmänt kan någon irreducibel faktor för P antas ha heltalskoefficienter och ledande och konstanta koefficienter som delar motsvarande koefficienter för P.