Ett sätt att representera Möbius strip inbäddad i tre-dimensionella Euklidiska rymden är av parametrization:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) synd ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\synd u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\synd {\frac {u}{2}}} logga ⁡ ( r ) synd ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \ log (r) \sin\left ({\tfrac {1}{2}} \theta\right)=z \cos\left ({\tfrac {1}{2}} \theta \ right).}

bredaste isometrisk inbäddning i 3-spaceEdit

om en slät Möbiusremsa i tre-utrymme är en rektangulär-det vill säga skapad från att identifiera två motsatta sidor av en geometrisk rektangel med böjning men inte sträcker ytan-då är en sådan inbäddning känd för att vara möjlig om rektangelns bildförhållande är större än 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, med de kortare sidorna identifierade., (För ett mindre bildförhållande är det inte känt om en jämn inbäddning är möjlig.) När bildförhållandet minskar mot 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, verkar någon sådan inbäddning närma sig en form som kan ses som en remsa av tre liksidiga trianglar, vikta ovanpå varandra för att uppta en liksidig triangel.

om Möbius-remsan i tre utrymmen endast är en gång kontinuerligt differentierbar (klass C1) visar emellertid Nash-Kuiper-satsen att det inte finns någon lägre gräns.,

en metod för att göra en Möbiusremsa från en rektangulär remsa för bred för att helt enkelt vrida och ansluta (t.ex. en rektangel endast en enhet lång och en enhet bred) är att först vika den breda riktningen fram och tillbaka med ett jämnt antal veck—en ”dragspel”—så att den vikta remsan blir smal nog att den kan vridas och förenas, mycket som en enda tillräckligt lång remsa kan förenas. Med två veck, till exempel, en 1 × 1 remsa skulle bli en 1 × vikta remsa vars tvärsnitt är i form av en ’N’ och skulle förbli en ’N’ efter en halv-twist., Denna vikta remsa, tre gånger så länge den är bred, skulle vara tillräckligt lång för att sedan gå med i ändarna. Denna metod fungerar i princip, men blir opraktisk efter tillräckligt många veck, om papper används. Med vanligt papper kan denna konstruktion vikas platt, med alla papperslager i ett enda plan, men matematiskt är det inte klart om detta är möjligt utan att sträcka rektangelns yta.,

TopologyEdit

Möbius-remsan är ett tvådimensionellt kompaktgrenrör (dvs. en yta) med gräns. Det är ett vanligt exempel på en yta som inte är orienterbar. I själva verket är Möbius-remsan epitomet av det topologiska fenomenet nonorientability., Detta beror på att tvådimensionella former (ytor) är de lägsta dimensionella former för vilka icke-orienterbarhet är möjlig och Möbius remsan är den enda ytan som är topologiskt en subrymd av varje icke-orienterbar yta. Som ett resultat är någon yta icke-orienterbar om och endast om den innehåller ett Möbiusband som en subrymd.

Möbius-remsan är också ett standardexempel som används för att illustrera det matematiska begreppet fiberbunt. Specifikt är det en nontrivial bunt över cirkeln S1 med dess fiber lika med enhetsintervallet, i = ., Titta bara på kanten av Möbius-remsan ger en nontrivial tvåpunkt (eller Z2) bunt över S1.

Computer graphicsEdit

en enkel konstruktion av Möbius remsan som kan användas för att skildra den i datorgrafik eller modellering paket är:

• ta en rektangulär remsa. Rotera den runt en fast punkt inte i sitt plan. Vid varje steg roterar du också remsan längs en linje i sitt plan (linjen som delar remsan i två) och vinkelrätt mot huvudbanans radie. Ytan genereras på en fullständig revolution är Möbius strip.,
• ta en Möbiusremsa och skär den längs mitten av remsan. Detta bildar en ny remsa, som är en rektangel som förenas genom att rotera ena änden en hel tur. Genom att skära ner den i mitten igen bildar detta två sammankopplade helvridningsremsor.

geometrin hos den öppna Möbius bandEdit

den kan konstrueras som en yta med konstant positiv, negativ eller noll (Gaussisk) krökning., I fall av negativ och noll krökning, Möbius bandet kan konstrueras som en (geodetiskt) komplett yta, vilket innebär att alla geodesi (”raka linjer” på ytan) kan förlängas på obestämd tid i endera riktningen.

konstant negativ krökning:som planet och den öppna cylindern medger det öppna Möbius-bandet inte bara ett komplett mätvärde med konstant krökning 0, utan också ett komplett mätvärde med konstant negativ krökning, säg -1., Ett sätt att se detta är att börja med den övre halvplanet (Poincaré) modell av det hyperboliska Planet, nämligen { (x, y), med (DX2 + DY2) | Y2, med”fa37d5b27d”> 0} med Riemannian Metric ges av (DX2 + DY2) / Y2. Orienteringsbevarande isometrier för detta metriska är alla kartor f:. (az + b) / (cz + D), där A, b, C, D är reella tal som uppfyller ad − bc = 1. Här z är ett komplext nummer med Im(z) > 0, och vi har identifierat med {Z | im(z) > 0} utrustad med Riemannian Metric som nämndes., Sedan ges en orientering-reverserande isometri g av G(z) := −z, där z betecknar z : s komplexa konjugat. dessa fakta innebär att mappningen h: (Det kan uttryckas som h (z) = (√2i z + 0)/(0z − i / √2), och dess torg är isometry h(h(z)): = 4, som kan uttryckas som (2z + 0) / (0z + 1, 2).) Kvoten av denna grupps handling kan lätt ses som topologiskt ett Möbiusband., Men det är också lätt att verifiera att det är komplett och icke-kompakt, med konstant negativ krökning lika med -1.

gruppen av isometrier i detta Möbius band är 1-dimensionell och är isomorf till den speciella ortogonala gruppen så(2).

(konstant) noll krökning: detta kan också konstrueras som en komplett yta, genom att börja med del av planet R2 definieras av 0 ≤ y ≤ 1 och identifiera (x, 0) med (−x, 1) för alla x i R (reals). Det resulterande metriska gör det öppna Möbius-bandet till en (geodetiskt) komplett plan yta (dvs med Gaussisk krökning lika med 0 överallt)., Detta är det enda metriska på Möbius-bandet, upp till enhetlig skalning, som är både platt och komplett.

gruppen av isometrier i detta Möbius band är 1-dimensionell och är isomorf till den ortogonala gruppen så(2).

konstant positiv krökning:ett Möbiusband med konstant positiv krökning kan inte vara komplett, eftersom det är känt att de enda kompletta ytorna med konstant positiv krökning är sfären och det projektiva Planet., Det projektiva Planet P2 med konstant krökning + 1 kan konstrueras som kvoten för enhetssfären S2 i R3 med den antipodala kartan a: s2 → s2, definierad av A (x, y, z) = (−x, −y, −z). Det öppna Möbius-bandet är homeomorphic till det en gång punkterade projektiva planet, det vill säga P2 med någon punkt borttagen. Detta kan ses som det närmaste att ett Möbiusband med konstant positiv krökning kan få vara en komplett yta: bara en punkt bort.

gruppen av isometrier i detta Möbiusband är också 1-dimensionell och isomorf till den ortogonala gruppen O(2).,

utrymmet för oorienterade linjer i planet är diffeomorphic till det öppna Möbius-bandet. För att se varför, låt L(θ) beteckna linjen genom ursprunget i en vinkel θ till den positiva x-axeln. För varje l(θ) finns familjen P(θ) Av alla linjer i planet som är vinkelräta mot l(θ). Topologiskt är familjen P (θ) bara en linje(eftersom varje rad i p(θ) skär linjen L (θ) på bara en punkt). På så sätt, när θ ökar i intervallet 0° ≤ θ < 180°, representerar linjen l(θ) En linjes värde av distinkta linjer i planet., Men när θ når 180° är L(180°) identisk med L(0), och så är familjerna P(0°) och P(180°) av vinkelräta linjer också identiska familjer. Linjen L(0°) har dock återvänt till sig själv som L (180°) pekad i motsatt riktning. Varje linje i planet motsvarar exakt en linje i någon familj P (θ), för exakt En θ, för 0° ≤ θ < 180°, och P(180°) är identisk med P(0°) men returnerar pekar i motsatt riktning. Detta säkerställer att utrymmet för alla linjer i planet-unionen av alla l (θ) för 0° ≤ θ ≤ 180° – är ett öppet Möbiusband.,

gruppen av bijektiva linjära transformationer GL (2, R) av planet till sig själv (real 2 × 2 matriser med icke-nolldeterminant) inducerar naturligt bijektioner av linjens utrymme i planet till sig själv, vilket bildar en grupp av självhemomorfism av linjens utrymme. Därför bildar samma grupp en grupp av självhemomorfism av Möbius-bandet som beskrivs i föregående stycke. Men det finns ingen metrisk på linjerna i planet som är invariant under verkan av denna grupp av homeomorfisms. I den meningen har linjens utrymme i planet ingen naturlig metrisk på den.,

detta innebär att Möbius-bandet har en naturlig 4-dimensionell Lie-grupp av självhemomorfism, given av GL (2, R), men denna höga grad av symmetri kan inte ställas ut som gruppen av isometrier av något metriskt.

Möbius band med rund bunderedit

kanten, eller gränsen, av en Möbius band är homeomorphic (topologiskt ekvivalent) till en cirkel. Under de vanliga inbäddningarna av remsan i euklidiskt utrymme, som ovan, är gränsen inte en sann cirkel., Det är dock möjligt att bädda in en Möbiusremsa i tre dimensioner så att gränsen är en perfekt cirkel som ligger i något plan. Se till exempel figurerna 307, 308 och 309 om ”geometri och fantasi”.

en mycket mer geometrisk inbäddning börjar med en minimal Klein-flaska nedsänkt i 3-sfären, som upptäcktes av Blaine Lawson. Vi tar sedan hälften av denna Klein-flaska för att få ett Möbius-band inbäddat i 3-sfären (enhetssfären i 4-rymden)., Resultatet kallas ibland ”Sudanesiska Möbius Band”, där” sudanesiska ” hänvisar inte till landet Sudan utan till namnen på två topologer, Sue Goodman och Daniel Asimov. Applicera stereografisk projektion till det sudanesiska bandet placerar det i tredimensionellt utrymme – vilket kan ses nedan-en version på grund av George Francis finns här.

Från Lawsons minimal Klein-flaska härleder vi en inbäddning av bandet i 3-sphere S3, betraktas som en delmängd av C2, som är geometriskt densamma som R4., Vi karta vinklar η, φ till komplexa tal z1, z2 via

z 1 = sin ⁡ η e jag φ {\displaystyle z_{1}=\synd \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos ⁡ η e jag φ / 2 . {\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2}.}

för Att få en inbäddning av Möbius strip i R3 ett kartor S3 R3 via en stereografisk projektion. Projektionspunkten kan vara vilken punkt som helst på S3 som inte ligger på den inbäddade Möbius-remsan (detta utesluter alla vanliga projektionspunkter). Ett möjligt val är { 1 / 2, i / 2} {\displaystyle \ left \ {1 / {\sqrt {2}}, i /{\sqrt {2}} \ right\}}., Stereografiska projektioner kartlägger cirklar till cirklar och bevarar den cirkulära gränsen för remsan. Resultatet är en smidig inbäddning av Möbiusremsan i R3 med en cirkulär kant och inga självkorsningar.

det sudanesiska Möbius-bandet i three-sphere S3 är geometriskt en fiberbunt över en stor cirkel, vars fibrer är stora halvcirklar. Den mest symmetriska bilden av en stereografisk projektion av detta band i R3 erhålls genom att använda en projektionspunkt som ligger på den stora cirkeln som löper genom mittpunkten för var och en av halvcirklarna., Varje val av en sådan projektionspunkt resulterar i en bild som är kongruent till någon annan. Men eftersom en sådan projektionspunkt ligger på Möbius-bandet själv, skiljer sig två aspekter av bilden väsentligt från fallet (illustrerat ovan) där punkten inte finns på bandet: 1) bilden i R3 är inte hela Möbius – bandet, utan snarare bandet med en punkt borttagen (från centrumlinjen); och 2) bilden är obegränsad-och eftersom den blir alltmer långt ifrån R3s ursprung, approximerar den alltmer ett plan., Ändå har denna version av den stereografiska bilden en grupp av 4 symmetrier i R3 (det är isomorfisk till Klein 4-gruppen), jämfört med den avgränsade versionen som illustreras ovan med sin grupp av symmetrier den unika gruppen av order 2. (Om alla symmetrier och inte bara orientering-bevara isometrier av R3 är tillåtna, antalet symmetrier i varje enskilt fall fördubblas.)

men den mest geometriskt symmetriska versionen av allt är det ursprungliga Sudanesiska Möbius-bandet i three-sphere S3, där dess fullständiga grupp av symmetrier är isomorf till Lie-gruppen O (2)., Med en oändlig kardinalitet (kontinuum) är detta mycket större än symmetringruppen för eventuell inbäddning av Möbius-bandet i R3.

projektiv geometryEdit

med projektiv geometri kan ett öppet Möbiusband beskrivas som en uppsättning lösningar till en polynomial ekvation. Att lägga till ett polynom ojämlikhet resulterar i ett stängt Möbius band. Dessa relaterar Möbius band till geometrin hos linjebuntar och driften av att spränga i algebraisk geometri.

= { ( λ a , λ b ) : , {\displaystyle =\{(\lambda A,\lambda B):\lambda \i \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}

ett förverkligande av ett öppet Möbiusband ges av uppsättningen

m = {((x, y),) r 2 × R P 1 : A x = b y } . {\displaystyle M= \ {((x, y),)\in \mathbf {r} ^{2}\times \mathbf {Rp} ^{1}:Ax=By\}.,} M ’= { ( ( x , y),) R 2 × R P 1 : A x = b y , b 0 } = { ( x , y , m) r 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{aligned}m’&=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {r} ^{3}:MX=y\},\end{aligned}}}

där m motsvarar a / b {\displaystyle A/B} .

det finns en realisering av det stängda Möbius-bandet som en liknande uppsättning, men med en ytterligare ojämlikhet för att skapa en gräns:

n = { ( ( x , y),) rir 2 × R P 1: A x = b y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}