för 2000 år sedan kom den grekiska matematikern Euclid fram till en lista över fem postulat som han tyckte att geometri skulle byggas på. En av dem, den femte, motsvarade ett uttalande som vi alla känner till: att vinklarna i en triangel lägger till upp till 180 grader. Detta postulat verkade dock inte så uppenbart som de andra fyra på Euclids lista, så matematiker försökte härleda det från dem: att visa att en geometri som följde de fyra första postulaten nödvändigtvis skulle lyda den femte., Deras kamp fortsatte i århundraden, men i slutändan misslyckades de. De hittade exempel på geometrier som inte lyder det femte postulatet.
sfärisk geometri
bild: Lars H. Rohwedder.
sfärisk geometri är geometri på en sfär. I sfärisk geometri blir den euklidiska idén om en linje en stor cirkel, det vill säga en cirkel med maximal radie som spänner runt den fetaste delen av sfären. Det är inte längre sant att summan av vinklarna i en triangel alltid är 180 grader., Mycket små trianglar kommer att ha vinklar som summerar till bara lite mer än 180 grader (eftersom, ur en mycket liten triangel, är ytan på en sfär nästan platt). Större trianglar kommer att ha vinklar summera till mycket mer än 180 grader.
en rolig sak om hur lång tid det tog att upptäcka sfärisk geometri är att det är geometrin som håller på jordens yta!, Men vi märker aldrig riktigt, för vi är så små jämfört med jordens storlek att om vi ritar en triangel på marken och mäter dess vinklar är det belopp med vilket summan av vinklarna överstiger 180 grader så liten att vi inte kan upptäcka det.
sfären har vad matematiker kallar positiv krökning och det här är intuitivt meningsfullt., Men det finns en annan geometri som tar saker i andra riktningen:
hyperbolisk geometri
hyperbolisk geometri är inte lika lätt att visualisera som sfärisk geometri eftersom den inte kan modelleras i tredimensionellt euklidiskt utrymme utan förvrängning. Ett sätt att visualisera det kallas Poincaré-skivan.
ta en rund skiva, som den som avgränsas av den blå cirkeln i figuren till höger och föreställ dig en myra som bor inom den., I euklidisk geometri är den kortaste vägen mellan två punkter inuti den skivan längs en rak linje. I hyperbolisk geometri avstånd mäts annorlunda så den kortaste vägen är inte längre längs en euklidisk rak linje men längs bågen av en cirkel som uppfyller gränsen för skivan i rät vinkel, som den som visas i rött i figuren. En hyperbolisk Myra skulle uppleva den raka vägen som en omväg — den föredrar att röra sig längs bågen i en sådan cirkel.
en hyperbolisk triangel, vars sidor är bågar av dessa halvcirklar, har vinklar som lägger till upp till mindre än 180 grader., Alla svarta och vita former i figuren till vänster är hyperboliska trianglar.
en följd av detta nya hyperboliska mått är att skivans gränscirkel är oändligt långt ifrån hyperbolisk Myra. Detta beror på att metriska snedvrider avstånd med avseende på den vanliga euklidiska en. Banor som ser samma längd i euklidiska metriska är längre i hyperboliska metriska ju närmare de är till gränscirkeln., Figuren nedan visar en kakel av hyperboliska planet med vanliga heptagoner. På grund av den förvrängda metriska heptagonerna är alla av samma storlek i hyperboliska metriska. Och som vi kan se myran skulle behöva korsa oändligt många av dem för att komma till gränscirkeln — det är oändligt långt borta!
i motsats till sfären med sin positiva krökning är det hyperboliska Planet negativt krökt., Mycket små områden av det har samma typ av krökning som sadlar: längs en riktning ser de ut som toppen av en bergsrygg, och längs en annan riktning ser de ut som botten av en dal.
bild skapad av David Wright.
hyperbolisk geometri kan se ut som en fantasifull matematisk konstruktion men den har verkliga användningsområden. När Einstein utvecklade sin speciella relativitetsteori 1905 fann han att symmetrierna i hyperbolisk geometri var exakt vad han behövde för att formulera teorin., Idag tror matematiker att hyperbolisk geometri kan hjälpa till att förstå stora nätverk som Facebook eller Internet.
Du kan läsa mer om hyperbolisk geometri i icke-euklidisk geometri och Indra ’ s pearls.