Visa mobil meddelande Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
avsnitt 5-3 : Dot-produkt
ibland kallas dot-produkten scalar-produkten. Dot produkten är också ett exempel på en inre produkt och så ibland kan du höra det kallas en inre produkt.
här är några egenskaper hos dot-produkten.
egenskaper
bevisen för dessa egenskaper är mestadels ”beräkningsmässiga” bevis och så kommer vi bara att göra ett par av dem och lämna resten till dig att bevisa.,
bevis på \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)
bevis på : If \(\vec v\centerdot \vec v = 0\) sedan \(\vec v = \vec 0\)
vi kan sedan ha följande sats.
Sats
bevis
formeln från denna sats används ofta inte för att beräkna en punktprodukt utan istället för att hitta vinkeln mellan två vektorer., Observera också att medan skissen av de två vektorerna i beviset är för tvådimensionella vektorer är teoremet giltigt för vektorer av vilken dimension som helst (så länge de har samma dimension förstås).
Låt oss se ett exempel på detta.
punktprodukten ger oss en mycket trevlig metod för att bestämma om två vektorer är vinkelräta och det kommer att ge en annan metod för att bestämma när två vektorer är parallella. Observera också att vi ofta kommer att använda termen ortogonal i stället för vinkelrätt.
Nu, om två vektorer är ortogonala vet vi att vinkeln mellan dem är 90 grader., Från \(\eqref{EQ:eq2}\) detta säger oss att om två vektorer är ortogonala då,
\
likaså, om två vektorer är parallella då vinkeln mellan dem är antingen 0 grader (pekar i samma riktning) eller 180 grader (pekar i motsatt riktning). Återigen använder \(\eqref{eq: eq2}\) detta skulle innebära att ett av följande måste vara sant.
\
det finns flera trevliga applikationer av dot-produkten som vi bör titta på.,
projektioner
det finns en fin formel för att hitta projektionen av \(\vec B\) på \(\vec a\). Här är det,
Observera att vi också måste vara mycket försiktiga med notation här. Projektionen av\ (\vec a\) på \ (\vec B\) ges av
\
här är ett exempel.
för jämförelseändamål låt oss göra det tvärtom också.
som vi kan se från de två föregående exemplen är de två prognoserna olika så var försiktig.,
Direction Cosines
den här applikationen av dot-produkten kräver att vi befinner oss i tredimensionellt utrymme till skillnad från alla andra program Vi har tittat på till den här punkten.
här är en skiss av en vektor och riktningsvinklarna.
formlerna för riktningskosinerna är,
låt oss verifiera den första punktprodukten ovan. Vi lämnar resten till dig för att verifiera.
\
Här är ett par fina fakta om riktningen cosines.
Låt oss göra ett snabbt exempel som involverar direction cosines.