Du kanske kommer ihåg från algebra och kalkyl att en funktion kan vara en till en och på, och dessa egenskaper är relaterade till huruvida funktionen är inverterbar eller inte. Vi granskar nu dessa viktiga idéer. I avancerad matematik används ordet injektiv ofta istället för en till en, och surjektiv används istället för på. Här är de exakta definitionerna:

nedan är en visuell beskrivning av Definition 12.4., I huvudsak innebär injektiv att ojämlika element i en alltid skickas till ojämlika element i B. surjektiv innebär att varje element i B har en pil som pekar på det, det vill säga det är lika med f(a) för vissa a i domänen f.

det finns fyra möjliga injektiva/surjektiva kombinationer som en funktion kan ha. Detta illustreras nedan för fyra funktioner \(a \ rightarrow b\). Funktioner i den första kolumnen är injektiva, de i den andra kolumnen är inte injicerande. Funktioner i första raden är surjektiva, de i andra raden är inte.,

vi noterar i förbigående att en funktion enligt definitionerna är surjektiv om och endast om dess codomain är lika med dess intervall.

hur man visar en funktion \(f: a \rightarrow B\) är injektiv:

av dessa två tillvägagångssätt är contrapositive ofta det enklaste att använda, speciellt om f definieras av en algebraisk formel. Detta beror på att det kontrapositiva tillvägagångssättet börjar med ekvationen \(F(a) = f(A’)\) och fortsätter till ekvationen \(a = a’\). I algebra, som du vet, är det vanligtvis lättare att arbeta med ekvationer än ojämlikheter.,

så här visar du en funktion \(f: a \rightarrow B\) är surjektiv:

Antag \(b \i b\).

övning \(\PageIndex{1}\)

låt \(a= \{1,2,3,4\}\) och \(B = \{A,B,C\}\). Ge ett exempel på en funktion \(f :a \ rightarrow B\) som varken är injektiv eller surjektiv.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.