această secțiune ia în considerare cazuri reprezentative una și două – dimensionale de valuri în picioare. În primul rând, un exemplu de șir de lungime infinită arată cum undele identice care călătoresc în direcții opuse interferează pentru a produce valuri în picioare. Apoi, două exemple de șiruri de lungime finită cu condiții de limită diferite demonstrează modul în care condițiile de limită restricționează frecvențele care pot forma valuri în picioare. În continuare, exemplul undelor sonore dintr-o conductă demonstrează modul în care aceleași principii pot fi aplicate undelor longitudinale cu condiții de limită analogice.,undele permanente pot apărea, de asemenea, în rezonatoare bidimensionale sau tridimensionale. Cu valuri în picioare pe membrane bidimensionale, cum ar fi drumheads, ilustrate în animațiile de mai sus, nodurile devin linii nodale, linii pe suprafața la care nu există mișcare, care separă regiunile care vibrează cu faza opusă. Aceste modele de linii nodale sunt numite figuri Chladni. În rezonatoarele tridimensionale, cum ar fi casetele de sunet ale instrumentelor muzicale și rezonatoarele cavității cu microunde, există suprafețe nodale., Această secțiune include un exemplu de undă în picioare bidimensională cu o limită dreptunghiulară pentru a ilustra modul de extindere a conceptului la dimensiuni mai mari.pentru început, luați în considerare un șir de lungime infinită de-a lungul axei x, care este liber să fie întins transversal în direcția Y.pentru o undă armonică care călătorește spre dreapta de − a lungul șirului, deplasarea șirului în direcția y în funcție de poziția x și timpul t este
y R ( x , t ) = y Max sin ( 2 π X λ-ω t ) ., {\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }-\omega t\dreapta).}
deplasarea în y-direcția pentru un identice armonice val deplasare la stânga
y L ( x , t ) = y max sin ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }+\omega t\dreapta),}
în cazul în care
- ymax este amplitudinea de deplasare a string pentru fiecare val,
- ω este frecvența unghiulară sau echivalent 2π ori frecvența f,
- λ este lungimea de undă a valului.,
Pentru a fi identic cu dreapta – și stânga-deplasare valuri pe același șir, deplasarea totală din șir este suma de an și yL,
y ( x , t ) = y R + y L = y max sin ( 2 π x λ ω t ) + y max sin ( 2 π x λ + ω t ) . {\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }-\omega t\dreapta)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }+\omega t\dreapta).}
|
y ( x , t ) = 2 y max sin ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) ., {\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }\right)\cos(\omega t).,26c0″>
|
(1) |
Note that Equation (1) does not describe a traveling wave., De la orice poziție x, y(x,t), pur și simplu oscilează în timp, cu o amplitudine care variază în direcția x 2 y max sin ( 2 π x λ ) {\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }\right)} . Animația de la începutul acestui articol descrie ceea ce se întâmplă. Pe măsură ce valul albastru care călătorește spre stânga și valul verde care călătorește spre dreapta interferează, ele formează valul roșu în picioare care nu călătorește și în schimb oscilează în loc.deoarece șirul este de lungime infinită, nu are nici o condiție limită pentru deplasarea sa în orice punct de-a lungul axei X., Ca urmare, un val în picioare se poate forma la orice frecvență.
La locații de pe axa x, care sunt și multipli de un sfert de lungime de undă,
x = … , − 3 λ 2 , − λ − λ 2 , 0 , λ 2 , λ 3 λ 2 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \peste 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \peste 2},\;0,\;{\lambda \peste 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \peste 2},\ldots }
amplitudinea este întotdeauna zero. Aceste locații sunt numite noduri., La locații de pe axa x, care sunt multipli ciudate de un sfert de lungime de undă
x = … , − 5 λ 4 , − 3 λ 4 , − λ 4 , λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \peste 4},\;-{3\lambda \peste 4},\;-{\lambda \peste 4},\;{\lambda \peste 4},\;{3\lambda \peste 4},\;{5\lambda \peste 4},\ldots }
amplitudinea este maximă, cu o valoare de două ori amplitudinea de dreapta și de stânga-care călătoresc undele care interfera pentru a produce acest val în picioare de model. Aceste locații sunt numite anti-noduri. Distanța dintre două noduri consecutive sau anti-noduri este jumătate din lungimea de undă, λ/2.,
val în Picioare pe un șir de caractere cu două fix endsEdit
apoi, ia în considerare un șir cu capete fixe la x = 0 și x = L. șir va avea unele amortizare ca este întins de deplasare valuri, dar presupun că de amortizare este foarte mic. Să presupunem că la capătul fix x = 0 se aplică o forță sinusoidală care conduce șirul în sus și în jos în direcția y cu o amplitudine mică la o anumită frecvență f. în această situație, forța motrice produce o undă de călătorie dreaptă., Acel val reflectă capătul fix drept și călătorește înapoi spre stânga, reflectă din nou capătul fix stâng și călătorește înapoi spre dreapta și așa mai departe. În cele din urmă, se ajunge la o stare de echilibru în cazul în care șirul are valuri identice de călătorie dreapta și stânga ca în cazul lungimii infinite, iar puterea disipată prin amortizarea șirului este egală cu puterea furnizată de forța motrice, astfel încât undele au o amplitudine constantă.,
ecuația (1) descrie încă modelul de undă în picioare care se poate forma pe acest șir, dar acum ecuația (1) este supusă condițiilor de limită în care y = 0 la x = 0 și x = L, deoarece șirul este fixat la x = L și pentru că presupunem că forța motrice la capătul fix x = 0 are o amplitudine mică. Verificarea valorilor y la cele două capete,
y ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle y(0,t)=0,} y ( L , t ) = 2 y max sin ( 2 π L λ ) cos ( ω t ) = 0. {\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \terminat \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.,}
valuri în picioare într – un șir-modul fundamental și primele 5 armonici.,3f388d7654″>
(2)
n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Dacă undele se deplasează cu viteza v de-a lungul șirului, atunci în mod echivalent frecvența undelor în picioare este limitată la
f = v λ = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}
unda în picioare cu n = 1 oscilează la frecvența fundamentală și are o lungime de undă care este de două ori lungimea șirului. Valorile întregi mai mari ale lui n corespund modurilor de oscilație numite armonici sau tonuri. Orice val în picioare pe șirul va avea N + 1 noduri, inclusiv capetele fixe și n anti-noduri.,
Pentru a compara acest exemplu nodurile la descrierea de noduri pentru valuri în picioare în lungime infinită șir, rețineți că Ecuația (2) poate fi rescrisă ca
λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }
În această variantă de expresia pentru lungimea de undă, n trebuie să fie chiar., Cruce înmulțirea vom vedea, pentru că este un nod, este un multiplu par de un sfert de lungime de undă,
L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }
Acest exemplu demonstrează un tip de rezonanță și frecvențele care produce valuri în picioare pot fi denumite frecvențe de rezonanță.
val permanent pe un șir cu un capăt fixedit
apoi, ia în considerare același șir de lungime L, dar de data aceasta este fixat doar la x = 0. La x = l, șirul este liber să se miște în direcția Y., De exemplu, șirul poate fi legat la x = l la un inel care poate aluneca liber în sus și în jos un pol. Șirul are din nou o amortizare mică și este condus de o forță motrice mică la x = 0.
În acest caz, ecuația (1) descrie încă modelul de undă în picioare care se poate forma pe șir, iar șirul are aceeași condiție de limită y = 0 la x = 0. Cu toate acestea, la x = L unde șirul se poate mișca liber, ar trebui să existe un anti-nod cu amplitudinea maximă a lui y. revizuirea ecuației (1), Pentru x = L cea mai mare amplitudine a lui y apare atunci când
sin ( 2 π l λ ) = 1., {\displaystyle \ sin \ left ({2 \ pi L \ peste \ lambda }\right) = 1.}
Acest lucru duce la un set diferit de lungimi de undă decât în exemplul cu două capete fixe. Aici, la lungimea de undă a undelor staționare este limitată la
λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }
Echivalent, frecvența este limitată la
f = n v o L 4 . {\displaystyle f = {\frac {nv}{4L}}.}
rețineți că în acest exemplu n ia doar valori impare. Deoarece L este un anti-nod, este un multiplu ciudat de un sfert de lungime de undă., Astfel, modul fundamental din acest exemplu are doar un sfert dintr–un ciclu sinusoidal complet–zero la x = 0 și primul vârf la x = L-prima armonică are trei sferturi dintr-un ciclu sinusoidal complet și așa mai departe.acest exemplu demonstrează, de asemenea, un tip de rezonanță, iar frecvențele care produc unde în picioare se numesc frecvențe rezonante.
Val în picioare într-o pipăedit
luați în considerare un val în picioare într-o țeavă de lungime L., Aerul din interiorul conductei servește ca mediu pentru undele sonore longitudinale care călătoresc spre dreapta sau spre stânga prin conductă. În timp ce undele transversale de pe șir din exemplele anterioare variază în deplasarea lor perpendiculară pe direcția mișcării undelor, valurile care călătoresc prin aer în conductă variază în ceea ce privește presiunea și deplasarea longitudinală de-a lungul direcției mișcării undelor., Valul se propagă prin comprimarea și extinderea alternativă a aerului în segmentele conductei, care deplasează ușor aerul din poziția sa de repaus și transferă energia către segmentele vecine prin forțele exercitate de presiunile alternante de aer înalte și joase. Ecuațiile asemănătoare celor pentru valul de pe un șir pot fi scrise pentru schimbarea presiunii Δp datorită unui val de deplasare la dreapta sau la stânga în conductă.,
Δ p R ( x , t ) = p max sin ( 2 π x λ ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }-\omega t\dreapta),} Δ p L ( x , t ) = p max sin ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }+\omega t\dreapta),}
unde
- pmax este presiunea amplitudine sau maxim de creștere sau scădere a presiunii aerului din cauza unul val,
- ω este frecvența unghiulară sau echivalent 2π ori frecvența f,
- λ este lungimea de undă a valului.,
Dacă identic dreapta – și stânga-deplasare valuri de călătorie prin conducta, rezultat suprapunerea este descris de suma
Δ p ( x , t ) = Δ p R ( x , t ) + Δ p L ( x , t ) = 2 p max sin ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \terminat \lambda }\right)\cos(\omega t).}
rețineți că această formulă pentru presiune are aceeași formă ca ecuația (1), deci se formează o undă de presiune staționară care este fixată în spațiu și oscilează în timp.,dacă capătul unei țevi este închis, presiunea este maximă, deoarece capătul închis al țevii exercită o forță care restricționează mișcarea aerului. Aceasta corespunde unui anti-nod de presiune. Dacă capătul țevii este deschis, variațiile de presiune sunt foarte mici, corespunzând unui nod de presiune. Locația exactă a nodului de presiune la un capăt deschis este de fapt puțin dincolo de capătul deschis al țevii, astfel încât lungimea efectivă a țevii în scopul determinării frecvențelor rezonante este puțin mai lungă decât lungimea sa fizică. Această diferență de lungime este ignorată în acest exemplu., În ceea ce privește reflecțiile, capetele deschise reflectă parțial undele înapoi în conductă, permițând eliberarea unei energii în aerul exterior. În mod ideal, capetele închise reflectă întregul val înapoi în cealaltă direcție.mai întâi, luați în considerare o țeavă deschisă la ambele capete, de exemplu o țeavă de organ deschisă sau un înregistrator.,ds, condițiile la limită sunt analoage șir cu două capete fixe,
Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max sin ( 2 π L λ ) cos ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \terminat \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}
care apare numai atunci când lungimea de undă a undelor staționare este
λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}
sau, echivalent, atunci când frecvența este
f = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}
, unde v este viteza sunetului.,apoi, luați în considerare o conductă care este deschisă și, prin urmare, are un nod de presiune la x = 0 și închis și, prin urmare, are un anti-nod de presiune la x = L. Exemplele includ o sticlă și un clarinet. Această conductă are condiții limită analog cu șirul cu un singur capăt fix. Sale valuri în picioare au lungimi de undă limitat la
λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}
sau, echivalent, frecvența undelor staționare este limitată la
f = n v o L 4 . {\displaystyle f = {\frac {nv}{4L}}.,}
rețineți că pentru cazul în care un capăt este închis, n ia doar valori impare la fel ca în cazul șirului fixat la un singur capăt.
reprezentarea moleculară a unui val în picioare cu n = 2 pentru o conductă care este închisă la ambele capete. Având în vedere deplasarea longitudinală, rețineți că moleculele de la capete și moleculele din mijloc nu sunt deplasate de val, reprezentând noduri de deplasare longitudinală. La jumătatea distanței dintre noduri există anti-noduri de deplasare longitudinală în care moleculele sunt deplasate maxim., Având în vedere presiunea, rețineți că moleculele sunt comprimate și extinse maxim la capete și în mijloc, reprezentând anti-noduri de presiune. La jumătatea distanței dintre anti-noduri sunt noduri de presiune în care moleculele nu sunt nici comprimate, nici extinse pe măsură ce se mișcă.până în prezent, valul a fost scris în ceea ce privește presiunea sa în funcție de poziția x și de timp., Alternativ, val poate fi scris în ceea ce privește deplasarea longitudinală a aerului, în cazul în care aerul într-un segment al conductei se deplasează înainte și înapoi ușor în direcția x ca presiunea variază și valuri de călătorie în una sau ambele direcții. Schimbarea presiunii Δp și deplasarea longitudinală s sunt legate ca Δ p = – ρ v 2 ∂ s ∂ x, {\displaystyle \ Delta p = – \rho v^{2} {\frac {\partial s} {\partial x}},}
unde ρ este densitatea aerului., În ceea ce privește deplasarea longitudinală, capetele închise ale țevilor corespund nodurilor, deoarece mișcarea aerului este restricționată, iar capetele deschise corespund anti-nodurilor, deoarece aerul este liber să se miște. Un fenomen similar, mai ușor de vizualizat, apare în undele longitudinale care se propagă de-a lungul unui izvor.de asemenea, putem lua în considerare o țeavă închisă la ambele capete. În acest caz, ambele capete vor fi anti-noduri de presiune sau echivalent ambele capete vor fi noduri de deplasare., Acest exemplu este analog cu cazul în care ambele capete sunt deschise, cu excepția modelului de undă în picioare are o deplasare de fază π⁄2 de-a lungul direcției x pentru a schimba locația nodurilor și anti-nodurilor. De exemplu, cea mai lungă lungime de undă care rezonează–modul fundamental–este din nou de două ori lungimea țevii, cu excepția faptului că capetele țevii au anti-noduri de presiune în loc de noduri de presiune. Între capete există un nod de presiune., În cazul a două capete închise, lungimea de undă este din nou limitat la
λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}
iar frecvența este din nou limitat la
f = n v 2 L . {\displaystyle f = {\frac {nv} {2L}}.}
un tub Rubens oferă o modalitate de a vizualiza variațiile de presiune ale undelor în picioare într-un tub cu două capete închise.,în continuare, luați în considerare undele transversale care se pot deplasa de-a lungul unei suprafețe bidimensionale într-o limită dreptunghiulară a lungimii LX în direcția x și lungimea Ly în direcția Y. Exemple de acest tip de val sunt valurile de apă într-o piscină sau valuri pe o foaie dreptunghiulară care a fost trasă întinsă. Undele deplasează suprafața în direcția z, cu z = 0 definit ca înălțimea suprafeței atunci când este încă.,
În două dimensiuni și coordonate Carteziene, ecuația undelor este
∂ z 2 ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\parțială x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}
unde
- z(x,y,t) este deplasarea de la suprafață,
- c este viteza undei.pentru a rezolva această ecuație diferențială, să rezolvăm mai întâi pentru transformata Fourier, cu Z (x, y, ω) = ∫ − ∞ ∞ Z ( x , y , t) e − i ω t d t ., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-am\omega t}dt.}
luând transformata Fourier a ecuației undelor,
∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = – ω 2 c 2 Z (x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\parțială x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}
aceasta este o problemă de valoare proprie în care frecvențele corespund valorilor proprii care corespund apoi modurilor specifice frecvenței sau funcțiilor proprii. Mai exact, aceasta este o formă a ecuației Helmholtz și poate fi rezolvată folosind separarea variabilelor., Să presupunem
Z = X (x ) Y (y ) . {\modul de afișare Z=X (x)Y (y).}
împărțirea ecuației Helmholtz la Z,
1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 Y (y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\parțială x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}
aceasta duce la două ecuații diferențiale obișnuite cuplate. Termenul x este egal cu o constantă în raport cu x pe care o putem defini ca
1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 = ( I k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\parțială x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}
rezolvarea pentru X (x),
X ( x) = A K X e i k x x + B k x e − i k x x . {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}
această dependență x este sinusoidală–reamintind formula lui Euler-cu constantele Akx și Bkx determinate de condițiile limită., De asemenea, y termen este egal cu o constantă cu privire la y care putem defini ca
1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}
și dispersia legate de acest val este, prin urmare,
ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}
rezolvarea ecuației diferențiale pentru termenul y,
Y ( y) = C k Y e i k y y + D k y e − i k y y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}
înmulțirea acestor funcții împreună și aplicarea transformatei Fourier inverse, z (x, y, t) este o suprapunere a modurilor în care fiecare mod este produsul funcțiilor sinusoidale pentru x, y și t,
z ( x , y , t ) ∼ e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm eu\omega t}.}
constantele care determină funcțiile sinusoidale exacte depind de condițiile limită și de condițiile inițiale., Pentru a vedea cum se aplică condițiile de delimitare, luați în considerare un exemplu precum foaia care a fost trasă întinsă unde z(x,y,t) trebuie să fie zero în jurul limitei dreptunghiulare. Pentru dependența x, z (x, y, t) trebuie să varieze într-un mod care poate fi zero atât la x = 0, cât și la x = LX pentru toate valorile lui y și T.,tion că îndeplinește această condiție de frontieră este
sin k x x,, {\displaystyle \sin {k_{x}x},}
cu kx limitat la
k x = n π L x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }
de Asemenea, y dependența de z(x,y,t) trebuie să fie zero la ambele y = 0 și y = Ly, care este mulțumit de
sin k y y , k y = m π M y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\puncte }
Limitarea numerelor de undă a acestor valori, de asemenea, restricționează frecvențele de rezonanță pentru a
ω = c π ( n L x a ) 2 + ( m L y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}
Dacă condițiile inițiale pentru z(x,y,0) și timpul său derivat ż(x,y,0) sunt alese astfel încât t-dependența este un cosinus funcția, apoi valuri în picioare pentru acest sistem ia forma
z ( x , y , t ) = z max sin ( n π x L x ) sin ( m π y L-y ) cos ( ω t ) . {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\dreapta).,} n = 1 , 2 , 3 , … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\punctele \quad m=1,2,3,\dots }
Deci, în picioare valuri în interiorul acestui fixe dreptunghiulară limita oscila în timp, la anumite frecvențe de rezonanță parametrizate de numere întregi n și m. Ca ei oscilează în timp, ei nu călătoresc și lor spațială variație este sinusoidală în ambele x și y-direcții astfel încât ele să satisfacă condițiile la limită. Modul fundamental, n = 1 și m = 1, are un singur antinod în mijlocul dreptunghiului., Variația n și m oferă modele bidimensionale complicate, dar previzibile, ale nodurilor și antinodelor din interiorul dreptunghiului.
rețineți din relația de dispersie că în anumite situații diferite moduri-adică diferite combinații de n și m–pot rezona la aceeași frecvență, chiar dacă au forme diferite pentru dependența lor de x și Y. De exemplu, dacă limita este pătrată, LX = Ly, modurile n = 1 și m = 7, n = 7 și m = 1 și n = 5 și m = 5 toate rezonează la
ω = c π l x 50 . {\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}