Elementară proofEdit
să Presupunem că P(p/q) = 0 pentru unele prime între ele p, q ∈ ℤ:
P ( p q ) = n ( p q ) n + a n − 1 ( p-q ) n − 1 + ⋯ + 1 ( p q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
pentru a șterge numitorii,
n p N + A n − 1 p n − 1 q + ⋯ + A 1 p q n − 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.,}
schimbarea termenului a0 în partea dreaptă și factorizarea p pe partea stângă produce:
p (a n p n − 1 + A N − 1 q p N − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1) = – a 0 q n . {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}iy^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
astfel, p împarte a0qn. Dar p este coprime la q și, prin urmare, la qn, deci prin Lemma lui Euclid p trebuie să împartă factorul rămas a0.pe de altă parte, schimbarea termenului an în partea dreaptă și factorizarea q pe partea stângă produce:
q ( A n − 1 p n − 1 + A N − 2 q p N − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − A N p N ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}iy^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
raționament ca înainte, rezultă că q împarte un.dacă există un factor netrivial care împarte toți coeficienții polinomului, atunci se poate împărți la cel mai mare divizor comun al coeficienților, astfel încât să se obțină un polinom primitiv în sensul lemmei lui Gauss; acest lucru nu modifică setul de rădăcini raționale și întărește doar condițiile de divizibilitate., Această lemă spune că, dacă factorii polinomiale În Q, atunci, de asemenea, factori în Z ca un produs de polinoame primitive. Acum, orice rădăcină rațională p / q corespunde unui factor de gradul 1 În Q al polinomului, iar reprezentantul său primitiv este atunci qx − p, presupunând că p și q sunt coprime. Dar orice multiplu în Z din qx-p are termen principal divizibil cu q și termen constant divizibil cu p, ceea ce dovedește afirmația., Acest argument arată că, în general, orice factor ireductibil al lui P poate fi presupus că are coeficienți întregi, iar coeficienții de conducere și constanți care împart coeficienții corespunzători ai lui P.