toate poligoanele simple obișnuite (un poligon simplu este unul care nu se intersectează nicăieri) sunt convexe. Cei care au același număr de laturi sunt, de asemenea, similare.

un poligon regulat convex cu n fețe este notat cu simbolul său Schläfli {n}. Pentru n < 3, Avem două cazuri degenerate:

Monogon {1} Degenerate în spațiul obișnuit. (Majoritatea autorităților nu consideră monogonul ca un adevărat poligon, parțial din acest motiv și, de asemenea, deoarece formulele de mai jos nu funcționează, iar structura sa nu este cea a oricărui poligon abstract.,) Digon {2}; un „segment de linie dublă” degenerează în spațiul obișnuit. (Unele autorități nu consideră digonul ca un adevărat poligon din această cauză.)

în anumite contexte, toate poligoanele luate în considerare vor fi regulate. În astfel de circumstanțe, este obișnuit să renunți la prefixul regulat. De exemplu, toate fețele de poliedre uniforme trebuie să fie regulate, iar fețele vor fi descrise pur și simplu ca triunghi, pătrat, pentagon etc.,

AnglesEdit

Pentru o regulat convex n-gon, fiecare interior unghi are măsura de:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} grade; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radiani; sau ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} rotații complete,

Ca n se apropie de infinit, unghiul intern se apropie de 180 de grade. Pentru un poligon regulat cu 10.000 de laturi (un miriagon) unghiul intern este 179.964°. Pe măsură ce numărul laturilor crește, unghiul intern se poate apropia foarte mult de 180°, iar forma poligonului se apropie de cea a unui cerc., Cu toate acestea, poligonul nu poate deveni niciodată un cerc. Valoarea unghiului intern nu poate deveni niciodată exact egală cu 180°, deoarece circumferința ar deveni efectiv o linie dreaptă. Din acest motiv, un cerc nu este un poligon cu un număr infinit de laturi.pentru un n-gon obișnuit înscris într-un cerc cu rază de unitate, produsul distanțelor de la un vârf dat la toate celelalte vârfuri (inclusiv vârfurile adiacente și vârfurile conectate printr-o diagonală) este egal cu n.,

Puncte în planeEdit

Pentru un simplu regulat n-gon cu circumscrisa R și distanțele di de la un punct arbitrar în planul de varfuri, avem

∑ i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

și

S n ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + apă k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S n ( 4 ) − ( S n ( 2 ) ) 2 ) k ( S n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

, unde m {\displaystyle m} este un număr întreg pozitiv mai mic decât n {\displaystyle n} .,

Dacă L {\displaystyle L} este distanța de la un punct arbitrar în planul de centrul de greutate al unui regular n {\displaystyle n} -gon cu circumscrisa R {\displaystyle R} , atunci

∑ i = 1 n d i 2 m = n (n – ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) − m 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,

, unde m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,pentru un n-gon obișnuit, suma distanțelor perpendiculare de la orice punct interior la n laturi este de n ori apotemul: p. 72 (apotemul fiind Distanța de la centru la orice parte). Aceasta este o generalizare a teoremei lui Viviani pentru cazul n=3.,ei, și, zonă de poligoane regulate cu n laturi și circumscrisa 1, cu baza b de un dreptunghi cu aceeași zonă – linia verde prezinta cazul n = 6

circumscrisa R de la centrul unui poligon regulat cu unul dintre noduri este legată de lungimea laturii de s sau la apothem o de

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = o cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

Pentru construibil, poligoane, expresii algebrice pentru aceste relații există; vezi Bicentric poligon#poligoane Regulate.,

suma de perpendiculare de la un n-gon noduri la orice linie tangentă la circumscris este egal cu de n ori circumscrisa.:p. 73

suma pătratelor distanțelor de la nodurile de un normal n-gon pentru orice punct de pe circumscris este egal cu 2nR2 unde R este circumscrisa.:p.73

suma pătratelor distanțelor de la punctele de mijloc ale laturilor de un normal n-gon pentru orice punct de pe circumscris este 2nR2 − ns2/4, unde s este lungimea laturii și R este circumscrisa.: p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter prevede că fiecare zonogon (o 2m-gon ale cărui laturi opuse sunt paralele și de lungime egală) poate fi disecat în ( n 2 ) {\displaystyle {\introduce mediul proof {n}{2}}} sau m(m-1)/2 paralelograme.Aceste tilings sunt conținute ca subseturi de noduri, margini și fețe în proiecții ortogonale m-cuburi.,În special, acest lucru este valabil pentru poligoanele obișnuite cu multe laturi în mod egal, caz în care paralelogramele sunt toate romburi.Lista OEIS: A006245 oferă numărul de soluții pentru poligoane mai mici.,f convex regulat cu n laturi poligon cu partea de s, circumscrisa R, apothem o, și perimetru p este dat de

O = 1 2 n s o = 1 2 p o = 1 4 n s 2 pătuț ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ans={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\pat \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}