Un mod de a reprezenta bandă Möbius încorporat în trei-dimensională de spațiu Euclidian este de parametrizare:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\pentru {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) sin ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\pentru {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} jurnalul ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(r)\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \dreapta).}

mai mare izometrice încorporarea în 3-spaceEdit

Dacă o buna bandă Möbius în trei-spațiu dreptunghiular – care este, a creat de la identificarea două părți opuse ale o figură geometrică dreptunghi cu îndoire dar nu se întinde la suprafață – atunci o astfel de includere este cunoscut pentru a fi posibil dacă raportul de aspect al dreptunghi este mai mare decât 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , cu laturile scurte identificate., (Pentru un raport de aspect mai mic, nu se știe dacă este posibilă o încorporare lină.) Ca raportul de aspect scade spre 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , orice astfel de încorporarea pare să se apropie de o formă care poate fi considerat ca o bandă de trei triunghiuri echilaterale, pliat pe partea de sus a unul pe altul pentru a ocupa un triunghi echilateral.dacă banda Möbius din trei spații este o singură dată diferențiabilă continuu (clasa C1), atunci teorema lui Nash-Kuiper arată că nu există o limită inferioară.,

O metoda de a face o bandă Möbius dintr-o bandă dreptunghiulară prea mare pentru a pur și simplu poftă de mâncare și să se alăture (de exemplu, un dreptunghi doar o unitate de timp și o unitate larg) este de a ori primul largă direcția înainte și înapoi, folosind un număr de pliuri—un „acordeon ori”—astfel încât banda pliat devine suficient de îngust, care poate fi răsucit și s-au alăturat, de mult ca un singur timp-destul de benzi pot fi unite. Cu două pliuri, de exemplu, o bandă de 1 × 1 ar deveni o bandă pliată de 1 × ⅓ a cărei secțiune transversală are forma unui ” N „și ar rămâne un” N ” după o jumătate de răsucire., Această bandă pliată, de trei ori mai lungă decât este largă, ar fi suficient de lungă pentru a se alătura apoi la capete. Această metodă funcționează în principiu, dar devine impracticabilă după suficiente pliuri, dacă se utilizează hârtie. Folosind hârtie normală, această construcție poate fi pliată plat, cu toate straturile de hârtie într-un singur plan, dar matematic, dacă acest lucru este posibil fără a întinde suprafața dreptunghiului nu este clar.,

TopologyEdit

banda Möbius este un colector compact bidimensional (adică o suprafață) cu limită. Este un exemplu standard de suprafață care nu este orientabilă. De fapt, banda Möbius este simbolul fenomenului topologic al nonorientabilității., Acest lucru este pentru că forme bidimensionale (suprafețe) sunt cele mai mici-dimensional forme pentru care nonorientability este posibil și banda Möbius este doar de suprafață, care este din punct de vedere topologic un subspațiu de fiecare nonorientable suprafață. Ca urmare, orice suprafață este neorientabilă dacă și numai dacă conține o bandă Möbius ca subspațiu.

banda Möbius este, de asemenea, un exemplu standard folosit pentru a ilustra conceptul matematic al unui pachet de fibre. Mai exact, este un pachet netrivial peste cercul S1 cu fibra sa egală cu intervalul unității, I = ., Privind doar la marginea benzii Möbius dă un pachet netrivial cu două puncte (sau Z2) peste S1.

Computer graphicsEdit

o construcție simplă a benzii Möbius care poate fi utilizată pentru a o înfățișa în grafică computerizată sau în pachete de modelare este:

• luați o bandă dreptunghiulară. Rotiți-l în jurul unui punct fix, nu în planul său. La fiecare pas, rotiți și banda de-a lungul unei linii în planul său (linia care împarte banda în două) și perpendicular pe raza orbitală principală. Suprafața generată pe o revoluție completă este banda Möbius.,
• luați o bandă Möbius și tăiați-o de-a lungul mijlocului benzii. Aceasta formează o bandă nouă, care este un dreptunghi îmbinat prin rotirea unui capăt cu un rând întreg. Prin tăierea din nou a mijlocului, aceasta formează două benzi de interblocare întregi.

geometria bandeditului deschis Möbius

acesta poate fi construit ca o suprafață de curbură constantă pozitivă, negativă sau zero (Gaussiană)., În cazurile de curbură negativă și zero, banda Möbius poate fi construită ca o suprafață (geodezică) completă, ceea ce înseamnă că toate geodezicele („linii drepte” de pe suprafață) pot fi extinse pe termen nelimitat în ambele direcții.curbură negativă constantă: la fel ca planul și cilindrul deschis, banda deschisă Möbius admite nu numai o metrică completă a curburii constante 0, ci și o metrică completă a curburii negative constante, să zicem -1., O modalitate de a vedea acest lucru este de a începe cu jumătatea superioară avion (Poincaré) modelul hiperbolic avion ℍ, și anume ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} cu metrică Riemanniană dat de (dx2 + dy2) / y2. Orientarea-conservarea isometries de această valoare sunt toate hărțile f : ℍ → ℍ de forma f(z) := (az + b) / (cz + d), unde a, b, c, d sunt numere reale satisfacatoare ad − bc = 1. Aici z este un număr complex cu Im(z) > 0, și am identificat ℍ cu {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} înzestrată cu metrică Riemanniană, care a fost menționat., Apoi într-o orientare-inversarea izometrie g de ℍ este dată de g(z) : = z, unde z reprezintă complex conjugatul lui z. Aceste fapte implică faptul că cartografiere h : ℍ → ℍ dat de h(z) := -2⋅z este o orientare-inversarea izometrie de ℍ care generează un infinit grup ciclic G, de isometries. (Poate fi exprimată ca h (z) = (√2i z + 0) / (0z − i/√2), iar pătratul său este izometria h(h(z)): = 4⋅z, care poate fi exprimată ca (2z + 0) / (0z + 1⁄2).) Coeficientul ℍ / G al acțiunii acestui grup poate fi ușor văzut ca fiind topologic o bandă Möbius., Dar este, de asemenea, ușor de verificat dacă este complet și necompact, cu curbură negativă constantă egală cu -1.grupul de izometrii din această bandă Möbius este 1-dimensional și este izomorf la grupul special ortogonal SO (2).

(constantă) curbură zero:aceasta poate fi, de asemenea, construită ca o suprafață completă, începând cu porțiunea planului R2 definită de 0 ≤ y ≤ 1 și identificând (x, 0) cu (−x, 1) Pentru toate x în R (reals). Metrica rezultată face ca banda Möbius deschisă să devină o suprafață plană (geodezică) completă (adică având curbura Gaussiană egală cu 0 peste tot)., Aceasta este singura valoare de pe banda Möbius, până la scalarea uniformă, care este atât plană, cât și completă.grupul de izometrii din această bandă Möbius este 1-dimensional și este izomorf la grupul ortogonal SO(2).curbură pozitivă constantă:o bandă Möbius de curbură pozitivă constantă nu poate fi completă, deoarece se știe că singurele suprafețe complete de curbură pozitivă constantă sunt sfera și planul proiectiv., Planul proiectiv P2 de curbură constantă +1 poate fi construit ca coeficient al sferei unitare S2 în R3 prin harta antipodală A: S2 → s2, definită de A(x, y, z) = (−x, −y, −z). Banda deschisă Möbius este homeomorfă cu planul proiectiv odată perforat, adică P2 cu orice punct îndepărtat. Aceasta poate fi considerată ca fiind cea mai apropiată bandă Möbius de curbură pozitivă constantă care poate ajunge la o suprafață completă: la doar un punct distanță.

grupul de izometrii din această bandă Möbius este, de asemenea, 1-dimensional și izomorf la grupul ortogonal O(2).,

spațiul liniilor neorientate din plan este difeomorfic față de banda deschisă Möbius. Pentru a vedea de ce, lăsați L(θ) să denotă linia prin origine la un unghi θ față de axa x pozitivă. Pentru fiecare l(θ) există familia P(θ) a tuturor liniilor din plan care sunt perpendiculare pe L (θ). Topologic, familia P (θ) este doar o linie (deoarece fiecare linie din P(θ) intersectează linia L(θ) într-un singur punct). În acest fel, ca θ crește în intervalul de la 0° ≤ θ < 180°, linia L(θ) reprezintă o linie în valoare de linii distincte în plan., Dar când θ atinge 180°, L(180°) este identic cu L(0), astfel încât familiile P(0°) și P (180°) ale liniilor perpendiculare sunt, de asemenea, familii identice. Linia L (0°), cu toate acestea, a revenit la sine ca L(180°) a subliniat în direcția opusă. Fiecare linie din plan corespunde exact unei linii din unele familii P (θ), Pentru exact un θ, Pentru 0° ≤ θ < 180°, iar P(180°) este identic cu p(0°), dar returnează indicat în direcția opusă. Acest lucru asigură că spațiul tuturor liniilor din plan – unirea tuturor L(θ) Pentru 0° ≤ θ ≤ 180° – este o bandă Möbius deschisă.,

grupul de bijective transformări liniare GL(2, R) de avion de la sine (real 2 × 2 matrici cu non-zero determinant) în mod natural induce bijections de spațiu de linii în planul de sine, care formează un grup de auto-homeomorphisms a spațiului dintre linii. Prin urmare, același grup formează un grup de auto-homeomorfisme ale benzii Möbius descrise în paragraful anterior. Dar nu există o metrică în spațiul liniilor din planul care este invariant sub acțiunea acestui grup de homeomorfisme. În acest sens, spațiul liniilor din plan nu are o metrică naturală pe el.,aceasta înseamnă că banda Möbius posedă un grup Natural 4-dimensional Lie de auto-homeomorfisme, dat de GL (2, R), dar acest grad ridicat de simetrie nu poate fi expus ca grup de izometrii de orice metrică.marginea sau limita unei benzi Möbius este homeomorfă (echivalent topologic) cu un cerc. Sub încorporarea obișnuită a benzii în spațiul Euclidian, ca mai sus, limita nu este un cerc adevărat., Cu toate acestea, este posibilă încorporarea unei benzi Möbius în trei dimensiuni, astfel încât limita să fie un cerc perfect întins într-un plan. De exemplu, a se vedea figurile 307, 308 și 309 din „geometria și imaginația”.

o încorporare mult mai geometrică începe cu o sticlă Klein minimă scufundată în 3 sfere, așa cum a fost descoperită de Blaine Lawson. Apoi luăm jumătate din această sticlă Klein pentru a obține o bandă Möbius încorporată în sfera 3 (sfera unității în spațiul 4)., Rezultatul este uneori numit „Sudanez Möbius Band”, unde” sudanez ” nu se referă la țara Sudan, ci la numele a doi topologi, Sue Goodman și Daniel Asimov. Aplicarea proiecției stereografice pe banda sudaneză o plasează în spațiul tridimensional, așa cum se poate vedea mai jos-o versiune datorată lui George Francis poate fi găsită aici.

Din sticla minimal Klein a lui Lawson derivăm o încorporare a benzii în 3-sfera S3, considerată ca un subset de C2, care este Geometric la fel ca R4., Am harta unghiuri η, φ pentru numerele complexe z1, z2, prin intermediul

z 1 = sin ⁡ η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos ⁡ η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2}.}

pentru a obține o încorporare a benzii Möbius în R3, o hartă S3 la R3 printr-o proiecție stereografică. Punctul de proiecție poate fi orice punct de pe S3 care nu se află pe banda Möbius încorporată (aceasta exclude toate punctele obișnuite de proiecție). O alegere posibilă este { 1 / 2, i / 2} {\displaystyle \ left \ {1/{\sqrt {2}},i/{\sqrt {2}}\right\}} ., Proiecțiile stereografice cartografiază cercurile în cercuri și păstrează limita circulară a benzii. Rezultatul este o încorporare lină a benzii Möbius în R3 cu o margine circulară și fără auto-intersecții.banda sudaneză Möbius din S3 cu trei sfere este din punct de vedere geometric un mănunchi de fibre peste un cerc mare, ale cărui fibre sunt semicercuri mari. Imaginea cea mai simetrică a unei proiecții stereografice a acestei benzi în R3 este obținută folosind un punct de proiecție care se află pe acel cerc mare care trece prin punctul de mijloc al fiecăruia dintre semicercuri., Fiecare alegere a unui astfel de punct de proiecție are ca rezultat o imagine congruentă cu oricare alta. Dar pentru că o astfel de proiecție se află punctul de pe bandă a lui Möbius în sine, două aspecte ale imaginii sunt semnificativ diferite de caz (ilustrat mai sus) în cazul în care punctul nu este pe banda: 1) imaginea în R3 nu este întreaga bandă a lui Möbius, ci mai degrabă o trupa cu un singur punct scos (de la centrala); și 2) imaginea este nemărginit – și ca acesta devine din ce în ce mai departe de originea R3, din ce în ce aproximează un avion., Totuși, această versiune a imaginii stereografice are un grup de 4 simetrii în R3 (este izomorfă față de Grupul Klein 4), în comparație cu versiunea delimitată ilustrată mai sus având grupul său de simetrii grupul unic de ordinul 2. (Dacă toate simetriile și nu doar izometriile de conservare a orientării R3 sunt permise, numărul de simetrii în fiecare caz se dublează.)

dar versiunea cea mai Geometric simetrică a tuturor este banda sudaneză originală Möbius în S3 cu trei sfere, unde grupul său complet de simetrii este izomorf la grupul Lie O(2)., Având o cardinalitate infinită (cea a continuumului), aceasta este mult mai mare decât grupul de simetrie al oricărei posibile încorporări a benzii Möbius în R3.

geometria Proiectivăedit

folosind geometria proiectivă, o bandă Möbius deschisă poate fi descrisă ca un set de soluții pentru o ecuație polinomială. Adăugarea unei inegalități polinomiale are ca rezultat o bandă Möbius închisă. Acestea se referă la benzile Möbius la geometria fasciculelor de linii și la operația de suflare în geometria algebrică.

= {(λ a, λ B): λ ∈ R ∖ { 0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda-O,\lambda B):\lambda \in \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}

o realizare a unei benzi deschise Möbius este dată de setul

M = {((x, y),) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y } . {\displaystyle M=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {PR} ^{1}:Ax=De\}.,} M = { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : a x = B y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{aliniat}M’&=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\ori \mathbf {PR} ^{1}:Ax=De,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m) de\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{aliniat}}}

în cazul în care m corespunde Unei / B {\displaystyle A/B} .

există o realizare a benzii Möbius închise ca un set similar , dar cu o inegalitate suplimentară pentru a crea o limită:

N = { ( ( x, y),) ∈ R 2 × R P 1 : A x = b y, x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}