în urmă cu 2000 de ani, matematicianul grec Euclid a venit cu o listă de cinci postulate pe care credea că ar trebui construită geometria. Una dintre ele, a cincea, a fost echivalentă cu o afirmație cu care suntem cu toții familiarizați: că unghiurile dintr-un triunghi se adaugă până la 180 de grade. Cu toate acestea, acest postulat nu părea la fel de evident ca celelalte patru pe a lui Euclid listă, așa că matematicienii au încercat să-l deduce din ele: pentru a arăta că o geometrie ascultarea primele patru postulate ar supun neapărat cea de-a cincea., Lupta lor a continuat timp de secole, dar în cele din urmă au eșuat. Ei au găsit exemple de geometrii care nu se supun celui de-al cincilea postulat.

geometrie Sferică

geometria sferică este geometria pe o sferă. În geometria sferică ideea euclidiană a unei linii devine un cerc mare, adică un cerc de rază maximă care se întinde chiar în jurul celei mai grase părți a sferei. Nu mai este adevărat că suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna de 180 de grade., Triunghiurile foarte mici vor avea unghiuri însumând doar puțin mai mult de 180 de grade (deoarece, din perspectiva unui triunghi foarte mic, suprafața unei sfere este aproape plană). Triunghiurile mai mari vor avea unghiuri însumând mult mai mult de 180 de grade.

un lucru amuzant despre durata de timp necesară pentru a descoperi geometria sferică este că geometria este cea care se află pe suprafața Pământului!, Dar nu observăm niciodată cu adevărat, pentru că suntem atât de mici în comparație cu dimensiunea Pământului, încât dacă desenăm un triunghi pe pământ și măsurăm unghiurile sale, suma cu care suma unghiurilor depășește 180 de grade este atât de mică încât nu o putem detecta.sfera are ceea ce matematicienii numesc curbură pozitivă și acest lucru are sens intuitiv., Dar există o altă geometrie care ia lucrurile în altă direcție:

geometrie Hiperbolica

geometrie Hiperbolica nu este la fel de ușor pentru a vizualiza fel de geometrie sferică pentru că nu poate fi modelat în trei-dimensională de spațiu Euclidian, fără distorsiuni. O modalitate de vizualizare este numită discul Poincaré. luați un disc rotund, ca cel delimitat de cercul albastru din figura din dreapta și imaginați-vă o furnică care trăiește în el., În geometria euclidiană, cea mai scurtă cale dintre două puncte din interiorul discului este de-a lungul unei linii drepte. În geometria hiperbolică, distanțele sunt măsurate diferit, astfel încât calea cea mai scurtă nu mai este de-a lungul unei linii drepte euclidiene, ci de-a lungul arcului unui cerc care îndeplinește limita discului în unghi drept, precum cea prezentată în roșu în figură. O furnică hiperbolică ar experimenta calea dreaptă ca un ocol-preferă să se deplaseze de-a lungul arcului unui astfel de cerc. un triunghi hiperbolic, ale cărui laturi sunt arce ale acestor semicercuri, are unghiuri care se adaugă până la mai puțin de 180 de grade., Toate formele alb-negru din figura din stânga sunt triunghiuri hiperbolice.

O consecință a acestui nou hiperbolic metric este că limita cercul de disc este infinit de departe din punct de vedere al hiperbolic ant. Acest lucru se datorează faptului că metrica denaturează distanțele față de cea euclidiană obișnuită. Căile care arată aceeași lungime în metrica euclidiană sunt mai lungi în metrica hiperbolică cu cât sunt mai aproape de Cercul limită., Figura de mai jos prezintă o placare a planului hiperbolic prin heptagoane regulate. Din cauza metricii distorsionate, heptagonii au aceeași dimensiune în metrica hiperbolică. Și, după cum putem vedea furnica ar trebui să traverseze infinit de multe dintre ele pentru a ajunge la cercul limită — este infinit de departe!spre deosebire de sfera cu curbura sa pozitivă, planul hiperbolic este curbat negativ., Regiunile foarte mici ale acesteia au același tip de curbură ca șei: de-a lungul unei direcții, ele arată ca vârful unei creastături montane, iar de-a lungul altei direcții arată ca fundul unei văi.