s-ar putea aminti de algebră și analiză matematică că o funcție poate fi unu-la-unu și pe, și aceste proprietăți sunt legate de dacă este sau nu funcția este inversabilă. Acum trecem în revistă aceste idei importante. În matematica avansată, cuvântul injectiv este adesea folosit în loc de unu la unu, iar surjectivul este folosit în loc de on. Iată definițiile exacte:

mai jos este o descriere vizuală a definiției 12.4., În esență, injectiv înseamnă că inegale elemente într-O întotdeauna trimis la inegală a elementelor din B. Surjective înseamnă că fiecare element din B are o săgeată care să indice, care este, acesta este egal cu f(a) pentru unii, în domeniul lui f.

Există patru posibile injectiv/surjective combinatii că o funcție poate să posede. Acest lucru este ilustrat mai jos pentru patru funcții \(a \rightarrow B\). Funcțiile din prima coloană sunt injective, cele din a doua coloană nu sunt injective. Funcțiile din primul rând sunt surjective, cele din al doilea rând nu sunt.,

observăm în treacăt că, în conformitate cu definițiile, o funcție este surjective dacă și numai dacă codomain este egal cu gama sa.

cum se arată o funcție \(f: a \rightarrow B\) este injectivă:

dintre aceste două abordări, contrapozitivul este adesea cel mai ușor de utilizat, mai ales dacă f este definit de o formulă algebrică. Acest lucru se datorează faptului că abordarea contrapozitivă începe cu ecuația \(f(A) = f(a’)\) și continuă cu ecuația \(a = a’\). În algebră, după cum știți, este de obicei mai ușor să lucrați cu ecuații decât inegalități.,

cum se afișează o funcție \(f: a \rightarrow B\) este surjectivă:

Să presupunem \(b \in B\).

exercitarea \(\PageIndex{1}\)

Să \(A= \{1,2,3,4\}\) și \(B = \{a,b,c\}\). Dați un exemplu de funcție \(f: a \rightarrow B\) care nu este nici injectivă, nici surjectivă.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.