Elementar proofEdit
Suponha que P(p/q) = 0 para alguns primos entre si, p, q ∈ ℤ:
P ( p q ) = n ( p, q ) n + a n − 1 ( p-q ) n − 1 + ⋯ + 1 ( p, q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
para denominadores claros,
n P N + A n − 1 p n − 1 q + ⋯ + A 1 p q n − 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.,}
mudar o termo a0 para o lado direito e factoring para fora p no lado esquerdo produz:
p ( A n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q n. {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}. assim, p divide a0qn. Mas p é coprime para q e, portanto, para qn, então pelo lema de Euclid P deve dividir o fator restante a0.
por outro lado, deslocando-se a um prazo para o lado direito e factoring, fora q no lado esquerdo produz:
q ( n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − n p n ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}. raciocínio como antes, segue-se que q divide an.
a Prova usando de Gauss lemmaEdit
Deve ser um fator não-trivial dividindo todos os coeficientes do polinômio, então pode-se dividir pelo maior divisor comum dos coeficientes, de modo a obter um polinômio primitivo no sentido de Gauss do lema; isto não altera o conjunto dos racionais, raízes e só reforça a divisibilidade condições., Esse lema diz que se os fatores polinomiais em Q, então também fatores em Z como um produto de polinômios primitivos. Agora qualquer raiz racional p / q corresponde a um fator de grau 1 em Q do polinômio, e seu representante primitivo é então qx − p, assumindo que p E q são coprime. Mas qualquer múltiplo em Z de qx-p tem termo principal divisível por q e termo constante divisível por p, O que prova a declaração., Este argumento mostra que, de um modo mais geral, qualquer fator irredutível de P pode ser suposto ter coeficientes inteiros, e coeficientes de liderança e constante dividindo os coeficientes correspondentes de P.