todos os polígonos simples regulares (um polígono simples é aquele que não se intersecta em nenhum lugar) são convexos. Os que têm o mesmo número de lados também são semelhantes.

um polígono convexo de n lados é denotado pelo seu símbolo Schläfli {n}. Para n < 3, temos dois casos degenerados:

Monogon {1} degenerado no espaço comum. (A maioria das autoridades não considera o monogon como um verdadeiro polígono, em parte por causa disso, e também porque as fórmulas abaixo não funcionam, e sua estrutura não é a de qualquer polígono abstrato.,) Digon {2}; a” double line segment ” Degenerate in ordinary space. (Algumas autoridades não consideram o digon como um verdadeiro polígono por causa disso.)

Em certos contextos todos os polígonos considerados serão regulares. Em tais circunstâncias, é costume deixar cair o prefixo regular. Por exemplo, todas as faces de poliedros uniformes devem ser regulares e as faces serão descritas simplesmente como triângulo, quadrado, Pentágono, etc.,

AnglesEdit

Para regular convexo de n-gon, cada ângulo interior tem uma medida de:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} graus; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radianos; ou ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} voltas completas,

a Medida que n se aproxima do infinito, o ângulo interno abordagens de 180 graus. Para um polígono regular com 10.000 lados (um mirígono) o ângulo interno é 179.964°. À medida que o número de lados aumenta, o ângulo interno pode chegar muito perto de 180°, e a forma do polígono se aproxima de um círculo., No entanto, o polígono nunca pode tornar-se um círculo. O valor do ângulo interno nunca pode ser exatamente igual a 180°, uma vez que a circunferência se tornaria efetivamente uma linha reta. Por esta razão, um círculo não é um polígono com um número infinito de lados.

DiagonalsEdit

para um n-gon regular inscrito em um círculo de raio unitário, O produto das distâncias de um determinado vértice para todos os outros vértices (incluindo vértices adjacentes e vértices conectados por uma diagonal) é igual a N.,

pontos no planeEdit

para um n-gon simples regular com circunradius R e distâncias di de um ponto arbitrário no plano para os vértices, temos

∑ i = 1 n d i 4 n + 3 r 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + r 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

e

S n ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + água k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( k 2 k ) ( S n ( 4 ) − o ( S n ( 2 ) ) 2 ) k ( S, n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

, onde m {\displaystyle m} é um número inteiro positivo menor que n {\displaystyle n} .,

Se L {\displaystyle L} é a distância a partir de um ponto arbitrário no plano do centróide de uma normal n {\displaystyle n} -gon com circum_raio R {\displaystyle R} , em seguida,

∑ i = 1 n i d a d 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( k 2 k ) R 2 k L k 2 ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2 k})} ,

, onde m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

pointsEdit Interior

para um n-gon regular, a soma das distâncias perpendiculares de qualquer ponto interior para os lados n é N vezes o apotem:p. 72 (sendo o apotem a distância do centro para qualquer lado). Esta é uma generalização do teorema de Viviani para o caso n=3.,eles, uma e a área de Um dos polígonos regulares de n lados e circum_raio 1, com a base, b, de um rectângulo com a mesma área – a linha verde mostra o caso n = 6

O circum_raio R a partir do centro de um polígono regular para um dos vértices está relacionado com o comprimento do lado s ou para o apótema de um

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

Para construível polígonos, expressões algébricas para essas relações existem; ver Bicentric polígono#polígonos Regulares.,

a soma das perpendiculares dos vértices de um n-gon regular a qualquer linha tangente ao circuncirculo é igual a n vezes o circunradio.: p. 73

a soma das distâncias ao quadrado dos vértices de um n-gon regular para qualquer ponto em seu circuncirculo é igual a 2nR2 onde R é o circunradio.: p. 73

a soma das distâncias ao quadrado dos pontos médios dos lados de um n-gon regular para qualquer ponto da circunferência é 2nR2 − ns2 / 4, em que s é o comprimento lateral e R é o circunradio.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n i d a d 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n i d a d 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter afirma que todos os zonogon (a 2m-gon cujos lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento) pode ser dissecada em ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}, ou m(m-1)/2 paralelogramos.Estas malhas são contidas como subconjuntos de vértices, arestas e faces em projeções ortogonais m-cubos.,Em particular, isso é verdade para polígonos regulares com uniformemente muitos lados, em que caso os paralelos são todos rômbi.A lista OEIS: A006245 dá o número de soluções para polígonos menores.,f um convexo do polígono regular com n faces tendo do lado do s, circum_raio R, apótema de um, e o perímetro p é dado por

A = 1 2 n s a = 1 2 p a = 1 4 a n o s 2 berço ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\berço \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=an^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

de todos os n-gons com um determinado perímetro, o que tem a maior área é regular.