Esta secção considera casos representativos de uma e duas dimensões de ondas estacionárias. Primeiro, um exemplo de uma corda de comprimento infinito mostra como ondas idênticas que viajam em direções opostas interferem para produzir ondas estacionárias. Em seguida, dois exemplos de cordas de comprimento finito com diferentes condições de contorno demonstram como as condições de contorno restringem as frequências que podem formar ondas estacionárias. Em seguida, o exemplo de ondas sonoras em um tubo demonstra como os mesmos princípios podem ser aplicados a ondas longitudinais com condições de contorno análogas.,ondas estacionárias também podem ocorrer em ressonadores bidimensionais. Com ondas de pé em membranas bidimensionais, como drumheads, ilustradas nas animações acima, os nós se tornam linhas nodais, linhas na superfície em que não há movimento, que as regiões separadas vibram com fase oposta. Estes padrões de linha nodal são chamados de figuras Chladni. Em ressonadores tridimensionais, tais como caixas de som de instrumentos musicais e ressonadores de cavidade de microondas, não há superfícies nodal., Esta seção inclui um exemplo de onda estacionária bidimensional com um limite retangular para ilustrar como estender o conceito para dimensões mais altas.
onda de pé em um stringEdit de comprimento infinito
para começar, considere uma cadeia de comprimento infinito ao longo do eixo x que é livre para ser esticada transversalmente na direção Y.
para uma onda harmônica viajando para a direita ao longo da cadeia, o deslocamento da cadeia na direção y como uma função da posição x e do tempo t é
y r ( x , t ) = Y max sin ( 2 π x λ − ω t ) ., {\displaystyle y_{\text{r}} (x,t)=y_{\text{max}}\sin \left ({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}
O deslocamento na direção y para idêntica onda harmônica de viajar para a esquerda
y L ( x , t ) = y max pecado ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{máx}}\sin \left({2\pi x \mais \lambda }+\omega t\right),}
onde
- ymax é a amplitude do deslocamento da cadeia para cada onda,
- ω é a frequência angular ou, equivalentemente 2 π vezes a freqüência f,
- λ é o comprimento de onda da onda.,
para ondas idênticas de direita e esquerda na mesma cadeia, o deslocamento total da cadeia é a soma de yR e yL,
y ( x , t ) = y R + Y L = Y max sin ( 2 π x λ – ω T ) + Y max sin ( 2 π x λ + ω t ) . {\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}+y_{\text{L}}=y_{\text{máx}}\sin \left({2\pi x \mais \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{máx}}\sin \left({2\pi x \mais \lambda }+\omega t\right).}
|
y ( x , t ) = 2 y max pecado ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) ., {\displaystyle y(x, t) = 2y_{\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} \right)\cos(\omega t).,26c0″>
|
(1) |
Note that Equation (1) does not describe a traveling wave., Em qualquer posição x, y(x,t) simplesmente oscila no tempo, com uma amplitude que varia na direção x 2 y max pecado ( 2 π x λ ) {\displaystyle 2y_{\text{máx}}\sin \left({2\pi x \mais \lambda }\right)} . A animação no início deste artigo mostra o que está acontecendo. À medida que a onda azul que viaja para a esquerda e a onda verde que viaja para a direita interferem, elas formam a onda vermelha que não viaja e, em vez disso, oscila no lugar.
porque a cadeia é de comprimento infinito, ela não tem condição de contorno para seu deslocamento em qualquer ponto ao longo do eixo x., Como resultado, uma onda de pé pode formar-se em qualquer frequência.
Em locais sobre o eixo x, que são ainda os múltiplos de um quarto de comprimento de onda,
x = … , − 3 λ 2 , − λ , − λ 2 , 0 , λ 2 , λ , 3 λ 2 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \mais 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }
a amplitude é sempre zero. Estes locais são chamados nós., Em locais sobre o eixo x, que são ímpares múltiplos de um quarto de comprimento de onda
x = … , − 5 λ 4 , − 3 λ 4 , − λ 4 , λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \mais de 4},\;-{3\lambda \mais de 4},\;-{\lambda \mais de 4},\;{\lambda \mais de 4},\;{3\lambda \mais de 4},\;{5\lambda \mais de 4},\ldots }
a amplitude é máxima, com um valor de duas vezes a amplitude do direito – e esquerdo, viajando ondas que interferem para produzir esta de pé, o padrão de onda. Estes locais são chamados anti-nódulos. A distância entre dois nós consecutivos ou antindos é metade do comprimento de onda, λ/2.,
onda de pé em uma corda com dois endsEdit fixos
seguinte, considere uma corda com extremidades fixas em x = 0 e x = L. A corda terá algum amortecimento, uma vez que é esticada por ondas itinerantes, mas assuma que o amortecimento é muito pequeno. Suponha que na extremidade fixa x = 0 é aplicada uma força sinusoidal que impulsiona a corda para cima e para baixo na direção y com uma pequena amplitude em alguma frequência F. nesta situação, a força motriz produz uma onda de viagem direita. , Essa onda reflete fora da extremidade fixa direita e viaja de volta para a esquerda, reflete novamente fora da extremidade fixa esquerda e viaja de volta para a direita, e assim por diante. Eventualmente, um estado estacionário é alcançado onde a corda tem ondas direitas e esquerdas idênticas como no caso de comprimento infinito e a potência dissipada por amortecimento na corda é igual à potência fornecida pela força motriz para que as ondas tenham amplitude constante.,
a Equação (1) ainda descreve o padrão de onda estacionária que pode formar-se nesta cadeia, mas agora a Equação (1) sujeita às condições de contorno, onde y = 0 em x = 0 e x = L, pois a corda é fixada em x = L e porque nós assumimos a força motriz no fixo x = 0 end tem pequena amplitude. Verificando os valores de y nas duas extremidades,
y ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle y(0,t)=0,} y ( L , t ) = 2 y max pecado ( 2 π L λ ) cos ( ω t ) = 0. {\displaystyle y(L, t)=2y_{\text{max}\sin \left({2\pi l \over \lambda} \right)\cos(\omega t) = 0.,}
Standing waves in a string – the fundamental mode and the first 5 harmonics.,3f388d7654″>
(2)
n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Se as ondas viajam com velocidade v ao longo da cadeia, então equivalentemente a frequência das ondas estacionárias é restrita a
f = v λ = n v 2 L. {\displaystyle f={\frac {v} {\lambda }} ={\frac {nv}{2L}}.}
a onda de pé com n = 1 oscila na frequência fundamental e tem um comprimento de onda que é o dobro do comprimento da corda. Valores inteiros superiores de n correspondem a modos de oscilação chamados harmônicos ou sobretones. Qualquer onda de pé na cadeia terá n + 1 Nós, incluindo as extremidades fixas e n anti-nós.,
Para comparar este exemplo é para nós a descrição de nós para ondas estacionárias na infinita cadeia de comprimento, note que a Equação (2) pode ser reescrita como:
λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }
nesta variação da expressão para o comprimento de onda, n deve ser par., Cruz multiplicando podemos ver que como L é um nó, é um múltiplo de um quarto de comprimento de onda,
L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }
Este exemplo demonstra um tipo de ressonância e as freqüências que produzem ondas estacionárias podem ser referidos como frequências ressonantes.
onda estacionária em uma cadeia com um endEdit fixo
seguinte, considere a mesma cadeia de comprimento L, mas desta vez ela só é fixa em x = 0. Em x = L, a cadeia é livre para se mover na direção Y., Por exemplo, a corda pode ser amarrada em x = L a um anel que pode deslizar livremente para cima e para baixo de um pólo. A corda novamente tem amortecimento pequeno e é impulsionada por uma pequena força motriz em x = 0.
neste caso, a equação (1) ainda descreve o padrão de onda que pode se formar na cadeia, e a cadeia tem a mesma condição de contorno de y = 0 em x = 0. No entanto, em x = L onde a cadeia pode mover-se livremente deve haver um antinódo com amplitude máxima de y. revendo a equação (1), Para x = L A maior amplitude de y ocorre quando
sin ( 2 π L λ ) = 1., {\displaystyle \sin \left ({2\pi l \over \lambda }\right)=1. isto leva a um conjunto diferente de comprimentos de onda do que no exemplo de duas extremidades fixas. Aqui, o comprimento de onda das ondas estacionárias é restrita a λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }
Equivalentemente, a frequência é restrita a
f = n v 4 L . {\displaystyle f = {\frac {nv}{4L}}.}
Note que neste exemplo n só toma valores ímpares. Porque L é um antinde, é um múltiplo ímpar de um quarto de comprimento de onda., Assim, o modo fundamental neste exemplo tem apenas um quarto de um ciclo seno completo–zero em x = 0 e o primeiro pico em x = L–A primeira harmônica tem três quartos de um ciclo seno completo, e assim por diante.este exemplo também demonstra um tipo de ressonância e as frequências que produzem ondas estacionárias são chamadas de frequências ressonantes.
onda estacionária num pipeEdit
considerar uma onda estacionária num tubo de comprimento L., O ar dentro do tubo serve como meio para ondas sonoras longitudinais que viajam para a direita ou para a esquerda através do tubo. Enquanto as ondas transversais na corda dos exemplos anteriores variam em seu deslocamento perpendicular à direção do movimento da onda, as ondas que viajam através do ar no tubo variam em termos de sua pressão e deslocamento longitudinal ao longo da direção do movimento da onda., A onda se propaga alternadamente comprimindo e expandindo o ar em segmentos do tubo, que desloca o ar ligeiramente de sua posição de repouso e transfere energia para segmentos vizinhos através das forças exercidas pela alternância de altas e baixas pressões de ar. Equações semelhantes às da onda em uma corda podem ser escritas para a mudança de pressão Δp devido a uma onda que viaja para a direita ou para a esquerda no tubo.,
Δ p R ( x , t ) = p max pecado ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{máx}}\sin \left({2\pi x \mais \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p max pecado ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{máx}}\sin \left({2\pi x \mais \lambda }+\omega t\right),}
onde
- pmax é a pressão de amplitude ou o máximo de aumento ou de diminuição na pressão do ar devido a cada onda,
- ω é a frequência angular ou, equivalentemente 2 π vezes a freqüência f,
- λ é o comprimento de onda da onda.,
Se idênticas, de direita e de esquerda viajar ondas viajam através do tubo, a resultante da superposição, é descrito pela soma
Δ p ( x , t ) = Δ p R ( x , t ) + Δ p L ( x , t ) = 2 p max pecado ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{máx}}\sin \left({2\pi x \mais \lambda }\right)\cos(\omega t).}
Note que esta fórmula para a pressão é da mesma forma que a equação (1), de modo que uma onda de pressão estacionária forma-se fixa no espaço e oscila no tempo.,
Se a extremidade de um tubo é fechada, a pressão é máxima uma vez que a extremidade fechada do tubo exerce uma força que restringe o movimento do ar. Isto corresponde a um antinódo de pressão. Se a extremidade do tubo está aberta, as variações de pressão são muito pequenas, correspondendo a um nó de pressão. A localização exata do nó de pressão em uma extremidade aberta é realmente um pouco além da extremidade aberta do tubo, de modo que o comprimento efetivo do tubo para a finalidade de determinar frequências ressonantes é um pouco mais longo do que o seu comprimento físico. Esta diferença de comprimento é ignorada neste exemplo., Em termos de reflexões, As extremidades abertas refletem parcialmente as ondas de volta para o tubo, permitindo que alguma energia seja liberada para o ar exterior. Idealmente, as extremidades fechadas refletem toda a onda de volta na outra direção.
considere primeiro um tubo que está aberto em ambas as extremidades, por exemplo um tubo de órgão aberto ou um gravador.,ds, as condições de contorno são análogas para a cadeia com dois fixos termina,
Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max pecado ( 2 π L λ ) cos ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{máx}}\sin \left({2\pi L \mais \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}
o que só ocorre quando o comprimento de onda das ondas estacionárias é
λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}
ou equivalentemente, quando a frequência é
f = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}
, onde v é a velocidade do som.,
em seguida, considere um tubo que está aberto e, portanto, tem um nó de pressão em x = 0 e fechado e, portanto, tem um anti-nó de pressão em x = L. exemplos incluem uma garrafa e um clarinete. Este tubo tem condições de contorno análogas à cadeia com apenas uma extremidade fixa. Suas ondas estacionárias têm comprimentos de onda restrito a
λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}
ou equivalentemente a frequência de ondas estacionárias é restrita a
f = n v 4 L . {\displaystyle f = {\frac {nv}{4L}}.,}
Note que para o caso em que uma extremidade é fechada, n só toma valores ímpares tal como no caso da cadeia fixada em apenas uma extremidade.
representação Molecular de uma onda estacionária com n = 2 para um tubo que é fechado em ambas as extremidades. Considerando o deslocamento longitudinal, note que as moléculas nas extremidades e as moléculas no meio não são deslocadas pela onda, representando nós de deslocamento longitudinal. A meio caminho entre os nós há antindes de deslocamento longitudinal onde as moléculas são deslocadas ao máximo., Considerando a pressão, note que as moléculas são comprimidas e expandidas ao máximo nas extremidades e no meio, representando antindes de pressão. A meio caminho entre os antindes estão os nós de pressão onde as moléculas não são comprimidas nem expandidas à medida que se movem.
até agora, a onda foi escrita em termos de sua pressão em função da posição x e do tempo., Alternativamente, a onda pode ser escrita em termos de seu deslocamento longitudinal do ar, onde o ar em um segmento do tubo se move para trás e para a frente ligeiramente na direção x como a pressão varia e as ondas viajam em qualquer uma ou em ambas as direções. A variação da pressão Δp e a deslocação longitudinal s estão relacionadas com
Δ P = − ρ v 2 ∂ s. ∂ s. ∂ x, {\displaystyle \Delta P= – \rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}
Em Que ρ é a densidade do ar., Em termos de deslocamento longitudinal, as extremidades fechadas dos tubos correspondem a nós, uma vez que o movimento do ar é restrito e as extremidades abertas correspondem a antinós, uma vez que o ar é livre de se mover. Um fenômeno similar, mais fácil de visualizar ocorre em ondas longitudinais propagando-se ao longo de uma mola.
também podemos considerar um tubo que está fechado em ambas as extremidades. Neste caso, ambas as extremidades serão antindes de pressão ou equivalentemente ambas as extremidades serão nós de deslocamento., Este exemplo é análogo ao caso em que ambas as extremidades estão abertas, exceto que o padrão de onda de pé tem um deslocamento de Fase π⁄2 ao longo da direção x para mudar a localização dos nós e antindes. Por exemplo, o comprimento de onda mais longo que ressoa–o modo fundamental–é novamente o dobro do comprimento do tubo, exceto que as extremidades do tubo têm antindes de pressão em vez de nós de pressão. Entre as extremidades há um nó de pressão., No caso de dois fechado de extremidades, o comprimento de onda é restrita novamente para
λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}
e a frequência é restrita novamente para
f = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}. o tubo de Rubens permite visualizar as variações de pressão das ondas de pé num tubo com duas extremidades fechadas.,
2D onda de pé com um limite retangular
seguinte, considere as ondas transversais que podem se mover ao longo de uma superfície bidimensional dentro de um limite retangular de comprimento Lx na direção x e comprimento Ly na direção y. Exemplos deste tipo de onda são ondas de água em uma piscina ou ondas em uma folha retangular que foi puxada taut. As ondas desloca a superfície na direção z, com z = 0 definido como a altura da superfície quando ela ainda está.,
Em duas dimensões e coordenadas Cartesianas, a equação de onda é
∂ z 2 ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ z 2 ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}
onde
- z(x,y,t) é o deslocamento da superfície,
- c é a velocidade da onda.
Para resolver esta equação diferencial, vamos primeiro resolver para a sua transformada de Fourier, com
Z ( x , y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) e − i ω t d t ., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.)
tomando a Transformada de Fourier da equação de onda,
∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = − ω 2 C 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ). este é um problema de eigenvalue onde as frequências correspondem a eigenvalues que então correspondem a modos específicos de frequência ou funções eigen. Especificamente, esta é uma forma da equação de Helmholtz e pode ser resolvida usando a separação de variáveis., Assumir Z = X (x ) Y (y ) . {\displaystyle Z = X(x)Y (y).>
dividindo a equação de Helmholtz por Z,
1 X (x ) ∂ 2 x ∂ x 2 + 1 Y (y ) ∂ 2 y ∂ y 2 + ω 2 C 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0. isto leva a duas equações diferenciais ordinárias acopladas. O termo x é igual a uma constante em relação a x que podemos definir como 1 X ( x ) ∂ 2 x ∂ x 2 = (i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}
resolução para X (x),
X ( x) = A k x e i k x x + B k x e − i k x x. {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}. esta dependência de x é sinusoidal–lembrando a fórmula de Euler–com constantes Akx e Bkx determinadas pelas condições de contorno., Da mesma forma, o y prazo é igual a uma constante com respeito a y, que podemos definir como 1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}
e a relação de dispersão para esta onda é, portanto,
ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}
resolvendo a equação diferencial para o termo y,
Y ( y ) = C k y e i k y + D K Y e − i k y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}
Multiplicando estas funções em conjunto e aplicando a inversa da transformada de Fourier, z(x,y,t) é uma superposição de modos que cada modo é o produto de funções sinusoidais para x, y e t,
z ( x , y , t ) ∼ e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm\omega t}.}
as constantes que determinam as funções sinusoidais exactas dependem das condições de contorno e das condições iniciais., Para ver como as condições de contorno se aplicam, considere um exemplo como a folha que foi puxada taut onde z(x,y,t) deve ser zero em torno do contorno retangular. Para a dependência x, z (x,y,t) deve variar de uma forma que pode ser zero em ambos x = 0 e x = Lx para todos os valores de y e T.,ção que satisfaça esta condição de contorno é
o pecado k x, x , {\displaystyle \sin {k_{x}x},}
com o kx restrito a
k x = n π L x a n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }
da Mesma forma, o y dependência de z(x,y,t) deve ser zero, tanto em y = 0 e y = Ly, que é satisfeita por
o pecado k y , k y = m π L y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }
Restringir a onda de números para estes valores também restringe as freqüências que ressoam para
ω = c π ( n L x a ) 2 + ( m L y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}
Se as condições iniciais para z(x,y,0) e seus derivativos ½ (x,y,0) são escolhidas de modo a t-dependência é uma função cosseno, em seguida, ondas estacionárias para este sistema toma a forma
z ( x , y , t ) = z max pecado ( n π x L x ) sin ( m π y L y ) cos ( ω t ) . {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{máx}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1 , 2 , 3 , …, m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }
Então, as ondas estacionárias dentro deste fixa limite retangular oscilam no tempo em determinadas frequências ressonantes parametrizada pelo inteiros n e m. Como eles oscilam no tempo, eles não viajam e sua variação espacial é senoidal em ambos x e y-direções tais que satisfazem as condições de contorno. O modo fundamental, n = 1 E m = 1, tem um único antinodo no meio do retângulo., Variando N E m Dá padrões bidimensionais complicados mas previsíveis de nós e antinodos dentro do retângulo.
nota a partir da relação de dispersão que em certas situações diferentes modos–significando diferentes combinações de n e m–podem ressoar na mesma frequência, mesmo que tenham formas diferentes para a sua dependência de x e y. Por exemplo, se o limite é quadrado, Lx = Ly, os modos n = 1 E m = 7, n = 7 E m = 1, e n = 5 e m = 5 todos ressoam em
ω = c π L x 50 . {\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}} {\sqrt {50}}.}