secção 5-3 : produto Ponto

às vezes o produto Ponto é chamado de produto escalar. O produto Ponto é também um exemplo de um produto interno e assim, às vezes, você pode ouvi-lo chamado de um produto interno.

Aqui estão algumas propriedades do produto dot.

Properties

as provas destas propriedades são, na sua maioria, provas “computacionais” e por isso vamos apenas fazer algumas delas e deixar o resto para você provar.,

uma Prova de \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

Prova : Se \(\vec v\centerdot \vec v = 0\), então \(\vec v = \vec 0\)

podemos, então, temos o seguinte teorema.

Teorema

prova

a fórmula deste teorema é muitas vezes usada para não calcular um produto Ponto, mas em vez disso para encontrar o ângulo entre dois vetores., Note também que enquanto o esboço dos dois vetores na prova é para vetores bidimensionais, o teorema é válido para vetores de qualquer dimensão (desde que eles tenham a mesma dimensão, é claro).

vamos ver um exemplo disso.

O produto Ponto nos dá um método muito bom para determinar se dois vetores são perpendiculares e dará outro método para determinar quando dois vetores são paralelos. Note também que muitas vezes usaremos o termo ortogonal no lugar da perpendicular.

agora, se dois vetores são ortogonais, então sabemos que o ângulo entre eles é de 90 graus., A partir de \(\eqref{eq:eq2}\) isso nos diz que, se dois vetores são ortogonais em seguida,

\

da Mesma forma, se dois vetores são paralelos, então o ângulo entre eles é de 0 graus (apontando na mesma direção) ou 180 graus (apontando na direção oposta). Mais uma vez usando \(\eqref{eq:eq2}\) isso significaria que um dos seguintes teria que ser verdadeiro.

\

Existem várias aplicações agradáveis do produto dot, bem como que devemos olhar.,

Projeções

Não é uma boa fórmula para encontrar a projeção de \(\vec b\) em \(\vec a\). Aqui está,

Note que também precisamos de ter muito cuidado com a notação aqui. A projecção de \(\vec a\) para \(\vec b\) é dada por

\

Aqui está um exemplo.

para fins de comparação vamos fazer isso ao contrário também.como podemos ver nos dois exemplos anteriores, as duas projecções são diferentes, por isso tenham cuidado.,esta aplicação do produto dot requer que estejamos em espaço tridimensional ao contrário de todas as outras aplicações que vimos até este ponto.

Aqui está um esboço de um vetor e os ângulos de direção.

As fórmulas para a direção primos são,

Vamos verificar o primeiro produto escalar acima. Deixamos o resto para verificar.

\

Aqui estão alguns fatos agradáveis sobre a direção cosines.

vamos fazer um exemplo rápido envolvendo cossenos de direção.