Uma forma de representar a faixa de Möbius incorporado em três dimensões espaço Euclidiano é a parametrização:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) o pecado ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} registo de ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(r)\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right).}

mais Ampla isométrica incorporação em 3-spaceEdit

Se um bom tira de Möbius no espaço tridimensional é um retangular, isto é, criado a partir da identificação de dois lados opostos de um geométrica do retângulo com dobra, mas não se estende a superfície, em seguida, uma tal incorporação é conhecido para ser possível se a proporção do retângulo é maior que 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , com os lados mais curtos identificados., (Para uma proporção menor, não se sabe se uma incorporação suave é possível.) À medida que a proporção diminui para 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , tal incorporação parece aproximar-se de uma forma que pode ser pensada como uma tira de três triângulos equiláteros, dobrados em cima um do outro para ocupar um triângulo equilátero.

Se a tira de Möbius em três espaços é apenas uma vez continuamente diferenciável( classe C1), no entanto, então o teorema de Nash-Kuiper mostra que não existe um limite inferior.,

Um método de se fazer uma tira de Möbius a partir de uma tira retangular grande demais para simplesmente torcer e participar (por exemplo, um retângulo de apenas uma unidade de comprimento e uma unidade de largura) é a primeira dobra a largura de direção para trás e para a frente, usando um mesmo número de dobras—um “acordeão dobra”—de modo que a dobrada da tira torna-se estreito o suficiente para que ele pode ser torcido e juntou-se, tanto quanto um único longa o suficiente tira pode ser associado. Com duas dobras, por exemplo, uma tira de 1 × 1 se tornaria uma tira dobrada de 1 × ⅓ cuja seção transversal é na forma de um ” N “e permaneceria um” N ” Após um meio torção., Esta tira dobrada, três vezes maior do que a largura, seria longa o suficiente para se juntar nas extremidades. Este método funciona em princípio, mas torna-se impraticável após bastantes dobras, se o papel for usado. Usando papel normal, esta construção pode ser dobrada plana, com todas as camadas do papel em um único plano, mas matematicamente, se isso é possível sem esticar a superfície do retângulo não é claro.,

TopologyEdit

a tira de Möbius é uma variedade compacta bidimensional (ou seja, uma superfície) com limites. É um exemplo padrão de uma superfície que não é orientável. Na verdade, a tira de Möbius é o epítome do fenômeno topológico da não-orientabilidade., Isto é porque formas bidimensionais (superfícies) são as formas de menor dimensão para as quais a não-orientabilidade é possível e a tira de Möbius é a única superfície que é topologicamente um subespaço de cada superfície não-orientável. Como resultado, qualquer superfície é não-orientável se e somente se contiver uma banda de Möbius como subespaço.

A tira de Möbius é também um exemplo padrão usado para ilustrar o conceito matemático de um feixe de fibras. Especificamente, é um feixe não trivial sobre o círculo S1 com sua fibra igual ao intervalo da Unidade, I = ., Olhar apenas para a extremidade da tira de Möbius dá um feixe não trivial de dois pontos (ou Z2) sobre S1.

computer graphicsEdit

a simple construction of the Möbius strip that can be used to portray it in computer graphics or modeling packages is:

• Take a rectangular strip. Gire em torno de um ponto fixo e não em seu plano. A cada passo, também gira a faixa ao longo de uma linha em seu plano (a linha que divide a faixa em dois) e perpendicular ao raio orbital principal. A superfície gerada em uma revolução completa é a tira de Möbius.,pegue uma tira de Möbius e corte-a ao longo do meio da tira. Isto forma uma nova faixa, que é um retângulo Unido por rotação de uma extremidade uma volta inteira. Ao cortá-lo novamente para o meio, isto forma duas tiras de volta inteiras entrelaçadas.

geometria da bandEdit aberta de Möbius

pode ser construída como uma superfície de curvatura constante positiva, negativa ou zero (Gaussiana)., Nos casos de curvatura negativa e zero, a banda de Möbius pode ser construída como uma superfície (geodesicamente) completa, o que significa que todas as geodésicas (“linhas retas” na superfície) podem ser estendidas indefinidamente em qualquer direção.

curvatura negativa constante: como o plano e o cilindro aberto, a banda de Möbius aberta admite não só uma métrica completa de curvatura constante 0, mas também uma métrica completa de curvatura negativa constante, digamos -1., Uma maneira de ver isso é começar com a metade superior de avião (Poincaré) modelo do plano hiperbólico ℍ, nomeadamente ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} com Riemaniano métrica dada por (dx2 + dy2) / y2. A orientação de preservação da isometries desta métrica, são todos os mapas f : ℍ → ℍ da forma f(z) := (az + b) / (cz + d), onde a, b, c, d são números reais satisfazendo ad − bc = 1. Aqui z é um número complexo com Im(z) > 0, e temos identificado ℍ com {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} dotado de Riemaniano métrica que foi mencionado., Em seguida, uma orientação-a inversão da isometria g de ℍ é dada por g(z) : = z, onde z denota o complexo conjugado de z. Estes fatos implicam que o mapeamento h : ℍ → ℍ dada por h(z) := -2⋅z é uma orientação-a inversão da isometria de ℍ que gera um infinito cíclico do grupo G da isometries. (Pode ser expresso como h (z) = (√2i z + 0) / (0z − i/√2), e seu quadrado é a isometria h(h(z)): = 4⋅z, que pode ser expresso como (2z + 0) / (0z + 1⁄2). O quociente ℍ / G da ação deste grupo pode ser facilmente visto como topologicamente uma banda de Möbius., Mas também é fácil verificar que é completa e não compacta, com curvatura negativa constante igual a -1.

O grupo de isometrias desta banda de Möbius é 1-dimensional e isomórfico ao grupo ortogonal especial SO (2).

(constante) curvatura zero:esta também pode ser construída como uma superfície completa, começando com a porção do plano R2 definida por 0 ≤ y ≤ 1 e identificando (x, 0) com (−x, 1) para todos OS x em R (os reais). A métrica resultante torna a banda de Möbius aberta em uma superfície plana (geodesicamente) completa (isto é, Tendo curvatura Gaussiana igual a 0 em todos os lugares)., Esta é a única métrica na banda de Möbius, até escala uniforme, que é plana e completa.

O grupo de isometrias desta banda de Möbius é 1-dimensional e isomórfico ao grupo ortogonal SO (2).

curvatura positiva constante: uma banda de Möbius de curvatura positiva constante não pode ser completa, uma vez que se sabe que as únicas superfícies completas de curvatura positiva constante são a esfera e o plano projetivo., O plano projetivo P2 de curvatura constante +1 pode ser construído como o quociente da esfera unitária S2 em R3 pelo mapa antipodal a: S2 → S2, definido por A(x, y, z) = (−x, −y, −z). A banda aberta de Möbius é homeomórfica para o plano projetivo uma vez perfurado, ou seja, P2 com qualquer ponto removido. Isto pode ser pensado como o mais próximo que uma banda de Möbius de curvatura positiva constante pode chegar a ser uma superfície completa: apenas um ponto de distância.

o grupo de isometrias desta banda de Möbius também é 1-dimensional e isomórfico ao grupo ortogonal O (2).,

O espaço de linhas não orientadas no plano é difeomórfico para a banda Möbius aberta. Para ver por que, l(θ) denota a linha através da origem em um ângulo θ Para o eixo x positivo. Para cada L (θ) existe a família P(θ) de todas as linhas do plano que são perpendiculares a L(θ). Topologicamente, a família P(θ) é apenas uma linha (porque cada linha em P(θ) intersecta a linha L(θ) em apenas um ponto). Desta forma, como θ aumenta na gama 0° ≤ θ < 180°, A Linha L(θ) representa o valor de uma linha de linhas distintas no plano., Mas quando θ atinge 180°, L (180°) é idêntico a L(0), e assim as famílias P(0°) E P(180°) de linhas perpendiculares também são famílias idênticas. A linha L(0°), no entanto, voltou a si mesma como L(180°) apontado na direção oposta. Cada linha no plano corresponde a exatamente uma linha em alguns família P(θ), para, exatamente, um θ, para 0° ≤ θ < 180°, e P(180°) é idêntico ao P(0°), mas retorna apontou na direção oposta. Isto garante que o espaço de todas as linhas no plano – a união de todas as L(θ) Para 0° ≤ θ ≤ 180° – é uma banda Möbius aberta.,

O grupo de transformações lineares bijetivas GL (2, R) do plano para si mesmo (matrizes reais 2 × 2 com determinante não-zero) induz naturalmente bijetões do espaço de linhas no plano para si mesmo, que formam um grupo de homeomorfismos do espaço de linhas. Assim, o mesmo grupo forma um grupo de homeomorfismos da banda de Möbius descrito no parágrafo anterior. Mas não há métrica no espaço de linhas no plano que é invariante sob a ação deste grupo de homeomorfismos. Neste sentido, o espaço de linhas no plano não tem métrica natural nele.,

isto significa que a banda de Möbius possui um grupo de Lie 4-dimensional natural de homeomorfismos, dado por GL(2, R), mas este alto grau de simetria não pode ser exibido como o grupo de isometrias de qualquer métrica.

banda de Möbius com limite redondo

a aresta, ou limite, de uma tira de Möbius é homeomórfica (topologicamente equivalente) a um círculo. Sob as incorporações usuais da faixa no espaço euclidiano, como acima, o limite não é um círculo verdadeiro., No entanto, é possível incorporar uma faixa de Möbius em três dimensões para que o limite seja um círculo perfeito deitado em algum plano. Por exemplo, veja as figuras 307, 308 e 309 de “geometria e imaginação”.

uma incorporação muito mais geométrica começa com uma garrafa mínima de Klein imersa na 3-esfera, como descoberto por Blaine Lawson. Nós então pegamos metade desta garrafa de Klein para obter uma banda de Möbius embutida na 3-esfera (a esfera de unidade em 4-espaço)., O resultado é às vezes chamado de “Sudanese Möbius Band”, onde “sudanese” se refere não ao país Sudão, mas aos nomes de dois topólogos, Sue Goodman e Daniel Asimov. Aplicando projeção estereográfica para a banda sudanesa coloca-a em espaço tridimensional, como pode ser visto abaixo – uma versão devido a George Francis pode ser encontrada aqui.

da garrafa de Klein mínima de Lawson derivamos uma incorporação da banda na 3-esfera S3, considerada como um subconjunto de C2, que é geometricamente o mesmo que R4., Mapeamos ângulos η, φ Para números complexos z1, z2 via

z 1 = sin η η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta \, e^{i\varphi }}} z 2 = cos ⁡ η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}= \ cos \ eta \, e^{i\varphi / 2}.}

para obter uma incorporação da tira de Möbius em R3 um mapeia S3 para R3 através de uma projeção estereográfica. O ponto de projeção pode ser qualquer ponto em S3 que não se encontra na tira de Möbius embutida (isto exclui todos os pontos de projeção habituais). Uma escolha possível é { 1 / 2, i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}}}, i /{\sqrt {2}}}}\right\}., Projeções estereográficas mapeiam círculos em círculos e preservam o limite circular da faixa. O resultado é uma incorporação suave da tira de Möbius em R3 com uma aresta circular e sem auto-intersecções.a banda Sudanesa de Möbius nas três esferas S3 é geometricamente um feixe de fibras sobre um grande círculo, cujas fibras são um grande semicírculo. A imagem mais simétrica de uma projeção estereográfica desta banda em R3 é obtida usando um ponto de projeção que se encontra naquele grande círculo que atravessa o ponto médio de cada um dos semicírculos., Cada escolha de tal ponto de projeção resulta em uma imagem que é congruente com qualquer outra. Mas, como um tal ponto de projecção fica na Möbius banda em si, dois aspectos da imagem de são significativamente diferentes do caso (ilustrado acima), onde o ponto não é sobre a banda: 1) a imagem em R3 não é a completa Möbius banda, mas a banda com um ponto removido (a partir de sua linha central); e 2) a imagem é ilimitada – e, como ele fica cada vez mais longe de ser a origem de R3, que cada vez mais se aproxima de um avião., No entanto, esta versão da imagem estereográfica tem um grupo de 4 simetrias em R3 (é isomórfica para o Grupo Klein 4), em comparação com a versão limitada ilustrada acima tendo seu grupo de simetrias o único grupo da ordem 2. (If all symmetries and not just orientation-preserving isometries of R3 are allowed, the numbers of symmetries in each case doubles.)

mas a versão mais geometricamente simétrica de todas é a banda de Möbius sudanesa original nas três esferas S3, onde seu grupo completo de simetrias é isomórfico ao grupo de Lie O(2)., Tendo uma cardinalidade infinita (a do continuum), esta é muito maior do que o grupo de simetria de qualquer possível incorporação da banda de Möbius em R3.

Geometryedit Projectivo

Usando geometria projectiva, uma banda aberta de Möbius pode ser descrita como o conjunto de soluções para uma equação polinomial. Adicionando uma desigualdade polinomial resulta em uma banda Möbius fechada. Estes relacionam as bandas de Möbius com a geometria dos feixes de linhas e a operação de explodir em Geometria Algébrica.

= {(λ A, λ B): λ ∈ R {{0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda a,\lambda B):\lambda \in \mathbf {r} \setminus \{0\}\}.}

a realização de uma banda Möbius aberta é dada pelo conjunto

M = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = b y } . {\displaystyle M=\{(x, y),)\in \mathbf {r} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By\}.,} M ‘= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B, y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{alinhado}M’&=\{((x,y))\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{alinhado}}}

, onde m corresponde a A / B {\displaystyle A/B} .

Há uma realização da banda Möbius fechada como um conjunto similar, mas com uma desigualdade adicional para criar um limite:

N = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B Y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}