Você pode se lembrar de álgebra e cálculo, que uma função pode ser de um-para-um e para, e estas propriedades estão relacionadas à existência ou não a função é invertível. Passamos agora em revista estas ideias importantes. Em matemática avançada, a palavra injetivo é muitas vezes usada em vez de um-para-um, e surjetivo é usado em vez de em. Aqui estão as definições exatas:

abaixo está uma descrição visual da definição 12.4., Em essência, injective significa que desigual elementos sempre enviadas a desigualdade de elementos de B. Surjective significa que cada elemento de B tem uma seta apontando para ele, que é, ele é igual a f(a), para alguns, no domínio de f.

Existem quatro possíveis injective/surjective combinações que uma função pode possuir. Isto é ilustrado abaixo para quatro funções \(a \rightarrow B\). As funções na primeira coluna são injetivas, as da segunda coluna não injetivas. Funções na primeira linha são surjetivas, as da segunda linha não são.,

notamos de passagem que, de acordo com as definições, uma função é surjetiva se e somente se a sua Co-cadeia for igual à sua gama.

Como mostrar uma função \(f: a \rightarrow B\) é injectiva:

destas duas abordagens, a contrapositiva é muitas vezes a mais fácil de usar, especialmente se f é definido por uma fórmula algébrica. Isto porque a abordagem contrapositiva começa com a equação \(f(A) = f(A)\) e prossegue para a equação \(a = a’\). Em álgebra, como você sabe, é geralmente mais fácil trabalhar com equações do que com desigualdades.,

Como mostrar uma função \(f: a \rightarrow B\) é surjetivo:

suponha \(b \em b\).

exercício \(\PageIndex{1}\)

Let \(a= \{1,2,3,4\}}\) e \(B = \{A,b,C\}\). Dê um exemplo de uma função \(f: a \rightarrow B\) que não é injetiva nem surjetiva.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.