wszystkie wielokąty proste regularne (wielokąt prosty to taki, który nigdzie się nie krzyżuje) są wypukłe. Te o tej samej liczbie boków są również podobne.

n-boczny wypukły wielokąt regularny jest oznaczany symbolem Schläfli {n}. Dla n < 3 mamy dwa przypadki zdegenerowane:

Monogon {1} zdegenerowany w przestrzeni zwykłej. (Większość autorytetów nie uważa monogonu za prawdziwy wielokąt, częściowo z tego powodu, a także dlatego, że poniższe wzory nie działają, a jego struktura nie jest taka, jak żadnego abstrakcyjnego wielokąta.,) Digon {2};” segment dwuliniowy ” zdegenerowany w przestrzeni zwykłej. (Niektóre władze nie uważają digona za prawdziwy wielokąt z tego powodu.)

w pewnych kontekstach wszystkie rozważane wielokąty będą regularne. W takich okolicznościach zwyczajowo rezygnuje się z prefiksu regularny. Na przykład wszystkie twarze jednorodnej polihedry muszą być regularne, a twarze będą opisane po prostu jako trójkąt, kwadrat, pentagon itp.,

Kąty

dla regularnego wypukłego n-gon każdy kąt wewnętrzny ma miarę:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} stopni; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radianów; lub ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} pełne obroty,

Gdy n zbliża się do nieskończoności, wewnętrzny kąt zbliża się do 180 stopni. Dla wielokąta regularnego o 10 000 boków (miriagon) kąt wewnętrzny wynosi 179,964°. Wraz ze wzrostem liczby boków kąt wewnętrzny może zbliżyć się do 180°, a kształt wielokąta zbliża się do kształtu okręgu., Jednak wielokąt nigdy nie może stać się okręgiem. Wartość kąta wewnętrznego nigdy nie może być dokładnie równa 180°, ponieważ obwód faktycznie stałby się linią prostą. Z tego powodu okrąg nie jest wielokątem o nieskończonej liczbie boków.

Przekątna

dla regularnego n-gonu wpisanego w okrąg o promieniu jednostkowym, iloczyn odległości od danego wierzchołka do wszystkich innych wierzchołków (w tym sąsiednich wierzchołków i wierzchołków połączonych przekątną) wynosi n.,

punkty w płaszczyźnie

dla regularnego prostego N-Gona o obwodzie R I odległości di od dowolnego punktu na płaszczyźnie do wierzchołków mamy

∑ i = 1 N D i 4 N + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 N D i 2 N + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} {N}}+3R^{4}=\left ({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}} {N}}+R^{2} \ right)^{2}.,2 w K {\właściwości wyświetlania stylu wartość S_{n}^{(2 m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\kwota _{k=1}^{\lfloor {\фрац {m}{2}}\rfloor }{\fasoli {n}{2K}}{\fasoli {2K}{Z}}P^{2K}(S_{n}^{(2)} p^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2K}} ,

i

E N ( 2 m ) = ( N ( 2 ) ) m + woda K = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 do 2 ( m 2 k ) ( 2-K ) ( N ( 4 ) − ( N ( 2 ) ) 2 ) Do ( Z N ( 2 ) ) m − 2 i K {\właściwości wyświetlania stylu wartość S_{n}^{(2 m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\kwota _{k=1}^{\lfloor {\фрац {m}{2}}\rfloor }{\FRAC {1}{2^{k}}}{\fasoli {n}{2K}}{\fasoli {2K}{do}}(S_{N}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{do}(S_{n}^{(2)})^{m-2K}} ,, gdzie m {\właściwości wyświetlania stylu wartość M} to dodatnia liczba całkowita mniejsza niż N {\właściwości wyświetlania stylu wartość p} .,

Jeśli L {\displaystyle L} jest odległością od dowolnego punktu na płaszczyźnie do centroidu regularnego n {\displaystyle n} -gon z circumradius R {\displaystyle R} , to

∑ i = 1 N D i 2 M = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 k L 2 K ( R 2 + L 2 ) m − 2 K ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}d_{i}^{2M}=N((R^{2}+L^{2})^{m}+\Sum _{K=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\Binom {m}{2K}}{\binom {2K}{k}}r^{2K}l^{2K}(R^{2}+L^{2})^{m-2K})} ,

Gdzie m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle N} -1.,

punkty wewnętrzne

dla regularnego n-Gona suma odległości prostopadłych od dowolnego punktu wewnętrznego do n boków jest n-krotna apotema: s. 72(apotema jest odległością od środka do dowolnej strony). Jest to uogólnienie twierdzenia Vivianiego dla przypadku n = 3.,te, a i obszar, a wielokątów regularnych O N bokach i circumradius 1, z podstawą, B prostokąta o tym samym obszarze – zielona linia pokazuje przypadek n = 6

circumradius R od środka wielokąta regularnego do jednego z wierzchołków jest związany z długością boku s lub apothem a przez

R = S 2 sin ⁡ ( π N ) = A cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle r={\frac {S}{2\sin \Left({\frac {\pi }{N}}\right)}}={\frac {A}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}}

w przypadku wielokątów konstrukcyjnych istnieją wyrażenia algebraiczne dla tych relacji; zobacz wielokąt bicentryczny#wielokąty regularne.,

suma prostopadłościanów od regularnego wierzchołka N-Gona do dowolnej linii stycznej do obwodu jest równa N razy circumradius.: P. 73

suma kwadratowych odległości od wierzchołków regularnego n-gon do dowolnego punktu na jego obwodzie jest równa 2nr2, gdzie R jest circumradius.: P. 73

suma kwadratowych odległości od środkowych punktów boków regularnego n-gon do dowolnego punktu na obwodzie wynosi 2nR2-ns2 / 4, Gdzie s jest długością boku i R jest circumradius.: p, 73

3 ( ∑ i = 1 N D i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n} d_ {i}^{4}}.

DissectionsEdit

Coxeter stwierdza, że każdy zonogon (2m-gon, którego przeciwległe boki są równoległe i równej długości) może być podzielony na(n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} lub M (m-1)/2 paralelogramy.Pochylenia te są zawarte jako podzbiory wierzchołków, krawędzi i powierzchni w rzutach ortogonalnych m-sześcianów.,W szczególności dotyczy to wielokątów regularnych o równomiernie wielu bokach, w którym to przypadku wszystkie równoległoboki są rombami.Lista OEIS: A006245 podaje liczbę rozwiązań dla mniejszych wielokątów.,f wypukły wielokąt N-boczny o boku s, circumradius R, apothem a i obwodzie p jest dany przez

A = 1 2 n s a = 1 2 p A = 1 4 N S 2 cot ⁡ ( π N ) = N A 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 N R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{2}}NS^{2}\cot \Left({\tfrac {\Pi }{N}}\right)=na^{2}\Tan \Left({\tfrac {\pi }{N}}\right)={\tfrac {1}{2}}nr^{2}\sin \Left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

ze wszystkich n-gonów o danym obwodzie, ten o największej powierzchni jest regularny.