taśma Möbiusa jest dwuwymiarowym kolektorem zwartym (tj. powierzchnią) z granicą. Jest to standardowy przykład powierzchni, która nie jest orientowana. W rzeczywistości Pasek Möbiusa jest uosobieniem topologicznego zjawiska nieorientowalności., Wynika to z faktu, że dwuwymiarowe kształty (powierzchnie) są najniższymi wymiarami, dla których możliwa jest nieorientowalność, a pasek Möbiusa jest jedyną powierzchnią, która topologicznie jest podprzestrzenią każdej nieorientowalnej powierzchni. W rezultacie każda powierzchnia jest nieorientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pasmo Möbiusa jako podprzestrzeń.

Pasek Möbiusa jest również standardowym przykładem używanym do zilustrowania matematycznego pojęcia wiązki włókien. W szczególności jest to nietrywialna wiązka nad okręgiem S1 z jego włóknem równym przedziałowi jednostkowemu, I = ., Patrząc tylko na krawędź paska Möbiusa daje nietrywialną wiązkę dwóch punktów (lub Z2) nad S1.

grafika Komputerowaedit

prosta konstrukcja paska Möbiusa, która może być używana do przedstawiania go w grafice komputerowej lub pakietach modelujących, to:

• weź prostokątny pasek. Obróć go wokół ustalonego punktu, a nie w jego płaszczyźnie. Na każdym kroku, również obrócić pasek wzdłuż linii w jego płaszczyźnie (linia, która dzieli pasek na dwie) i prostopadle do głównego promienia orbitalnego. Powierzchnia generowana na jednym całkowitym obrocie to pas Möbiusa.,
• weź pasek Möbiusa i wytnij go wzdłuż środka paska. Tworzy to nowy pasek, który jest prostokątem połączonym przez obracanie jednego końca na cały obrót. Poprzez ponowne przecięcie go na środku, tworzy to dwa blokujące się paski o pełnym skręcie.

Geometria otwartego pasma Möbiusa

może być skonstruowana jako powierzchnia stałej krzywizny dodatniej, ujemnej lub zerowej (Gaussa)., W przypadku krzywizny ujemnej i zerowej pasmo Möbiusa może być skonstruowane jako (geodezyjnie) całkowita powierzchnia, co oznacza, że wszystkie geodezje („linie proste” na powierzchni) mogą być rozszerzone w nieskończoność w dowolnym kierunku.

stała krzywizna ujemna:podobnie jak płaszczyzna i otwarty cylinder, otwarte pasmo Möbiusa przyjmuje nie tylko zupełną metrykę stałej krzywizny 0, ale także zupełną metrykę stałej krzywizny ujemnej, powiedzmy -1., Jednym ze sposobów, aby to zobaczyć, jest rozpoczęcie od modelu górnej połowy płaszczyzny (Poincaré) płaszczyzny hiperbolicznej ℍ, a mianowicie ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} z metryką riemannowską podaną przez (DX2 + DY2) / Y2. Izometria zachowująca orientację tej metryki to wszystkie mapy f: ℍ → ℍ postaci f(z) := (az + b) / (cz + D), gdzie A, b, c, d są liczbami rzeczywistymi spełniającymi ad − bc = 1. Tutaj z jest liczbą złożoną z Im(z) > 0, i zidentyfikowaliśmy ℍ z {z ∈ ℂ | im (z) > 0} wyposażoną w metrykę riemannowską, która została wspomniana., Następnie jedna izometria odwracająca orientację g ℍ jest dana przez g (Z): = – z, gdzie z oznacza sprzężenie złożone Z z. te fakty sugerują, że odwzorowanie h: ℍ → ℍ podane przez H (z): = -2⋅z jest izometrią odwracającą orientację ℍ, która generuje nieskończoną cykliczną grupę G izometrii. (Może być wyrażona jako h (z) = (√2i z + 0) / (0z − i/√2), a jej kwadrat jest izometrią h(h (z)) := 4⋅z, która może być wyrażona jako (2Z + 0) / (0z + 1⁄2).) Iloraz ℍ / G działania tej grupy można łatwo uznać za topologicznie pasmo Möbiusa., Ale łatwo jest również zweryfikować, czy jest ona kompletna i nie zwarta, ze stałą ujemną krzywizną równą -1.

Grupa izometrii tego pasma Möbiusa jest 1-wymiarowa i jest izomorficzna ze specjalną grupą ortogonalną SO(2).

(stała) krzywizna zerowa:może być również skonstruowana jako powierzchnia całkowita, zaczynając od części płaszczyzny R2 zdefiniowanej przez 0 ≤ y ≤ 1 i identyfikując (x, 0) z (−x, 1) dla wszystkich x W R (liczby rzeczywiste). Uzyskana metryka sprawia, że otwarte pasmo Möbiusa jest (geodezyjnie) całkowitą płaską powierzchnią (tj. ma krzywiznę Gaussa równą 0 wszędzie)., Jest to jedyna metryka w paśmie Möbiusa, aż do równomiernego skalowania, która jest zarówno płaska, jak i kompletna.

Grupa izometrii tego pasma Möbiusa jest 1-wymiarowa i jest izomorficzna z grupą ortogonalną SO(2).

stała dodatnia krzywizna:pasmo Möbiusa o stałej dodatniej krzywiznie nie może być kompletne, ponieważ wiadomo, że jedynymi całkowitymi powierzchniami o stałej dodatniej krzywiznie są Kula i płaszczyzna rzutowa., Płaszczyzna rzutowa P2 stałej krzywizny + 1 może być skonstruowana jako iloraz sfery jednostkowej S2 w R3 za pomocą mapy antypodowej a: S2 → S2, zdefiniowanej przez A(x, y, Z) = (−x, −y, −z). Otwarty zespół Möbiusa jest homeomorficzny z jednopunktową płaszczyzną rzutową, czyli P2 z dowolnym punktem usuniętym. Można to uznać za najbliższą, że pasmo Möbiusa o stałej dodatniej krzywiźnie może być całkowitą powierzchnią: tylko jeden punkt dalej.

Grupa izometrii tego pasma Möbiusa jest również 1-wymiarowa i izomorficzna z ortogonalną grupą O(2).,

przestrzeń niezorientowanych linii w płaszczyźnie jest dyfeomorficzna do otwartego pasma Möbiusa. Aby zobaczyć dlaczego, niech l (θ) oznacza linię przez początek pod kątem θ do dodatniej osi X. Dla każdego L(θ) istnieje rodzina P (θ) wszystkich linii na płaszczyźnie, które są prostopadłe do L(θ). Topologicznie rodzina P (θ) jest tylko linią (ponieważ każda linia w P (θ) przecina linię l (θ) Tylko w jednym punkcie). W ten sposób, gdy θ wzrasta w zakresie 0° ≤ θ < 180°, linia L(θ) reprezentuje wartość linii różnych linii w płaszczyźnie., Gdy θ osiągnie 180°, L(180°) jest identyczne z L(0), a więc rodziny P(0°) I P(180°) linii prostopadłych są również identycznymi rodzinami. Linia L (0°) powróciła jednak do siebie, gdyż L(180°) skierowała się w przeciwnym kierunku. Każda linia na płaszczyźnie odpowiada dokładnie jednej linii w pewnej rodzinie P(θ), Dla dokładnie jednej θ, dla 0° ≤ θ < 180°, A P(180°) jest identyczna z P (0°), ale zwraca skierowaną w przeciwnym kierunku. Zapewnia to, że przestrzeń wszystkich linii w płaszczyźnie-związek wszystkich l (θ) dla 0° ≤ θ ≤ 180° – jest otwartym pasmem Möbiusa.,

Grupa bijektywnych przekształceń liniowych GL(2, R) płaszczyzny do siebie (rzeczywiste macierze 2 × 2 z niezerowym wyznacznikiem) naturalnie indukuje bijekcje przestrzeni linii w płaszczyźnie do siebie, które tworzą grupę homeomorfizmów przestrzeni linii. Stąd ta sama grupa tworzy grupę homeomorfizmów zespołu Möbiusa opisanych w poprzednim akapicie. Nie ma jednak metryki na przestrzeni linii na płaszczyźnie, która jest niezmiennicza pod działaniem tej grupy homeomorfizmów. W tym sensie przestrzeń linii na płaszczyźnie nie ma na niej metryki naturalnej.,

oznacza to, że zespół Möbiusa posiada naturalną 4-wymiarową grupę Lie ' a homeomorfizmów, daną przez GL(2, R), ale tak wysoki stopień symetrii nie może być wystawiony jako grupa izometrii dowolnej metryki.

pasmo Möbiusa z okrągłą granicą

krawędź lub granica paska Möbiusa jest homeomorficzna (topologicznie równoważna) do okręgu. Zgodnie ze zwyczajowym osadzeniem paska w przestrzeni euklidesowej, jak wyżej, granica nie jest okręgiem prawdziwym., Możliwe jest jednak osadzenie paska Möbiusa w trzech wymiarach, tak aby granica była idealnym okręgiem leżącym w jakiejś płaszczyźnie. Na przykład patrz rysunki 307, 308 i 309 „geometria i wyobraźnia”.

znacznie bardziej geometryczne osadzenie zaczyna się od minimalnej butelki Kleina zanurzonej w 3-kuli, jak odkrył Blaine Lawson. Następnie bierzemy połowę tej butelki Kleina, aby uzyskać pasmo Möbiusa osadzone w 3-kuli (sfera jednostkowa w 4-przestrzeni)., Wynik jest czasami nazywany „Sudanese Möbius Band”, gdzie „sudanese” odnosi się nie do kraju Sudan, ale do nazwisk dwóch topologów, Sue Goodman i Daniela Asimova. Zastosowanie projekcji stereograficznej do pasma sudańskiego umieszcza go w przestrzeni trójwymiarowej, co widać poniżej – wersję należącą do George ' a Francisa można znaleźć tutaj.

z minimalnej butelki Kleina Lawsona wyprowadzamy zagnieżdżenie pasma w 3-sferę S3, traktowaną jako podzbiór C2, który jest geometrycznie taki sam jak R4., Odwzorowujemy kąty η, φ NA liczby zespolone Z1,Z2 przez

z 1 = sin η η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta\, e^{i\varphi }} z 2 = cos η η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}=\cos \eta\, e^{i \ varphi /2}.}

aby uzyskać osadzenie paska Möbiusa w R3, mapuje się S3 do R3 za pomocą projekcji stereograficznej. Punktem projekcji może być dowolny punkt na S3, który nie leży na osadzonym pasku Möbiusa (wyklucza to wszystkie zwykłe punkty projekcji). Jednym z możliwych wariantów jest { 1 / 2 , i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}},i/{\sqrt {2}}\right\}} ., Projekcje stereograficzne odwzorowują okręgi na okręgi i zachowują okrągłą granicę paska. Rezultatem jest gładkie osadzenie paska Möbiusa w R3 z okrągłą krawędzią i bez samo-przecięć.

Pasmo Möbiusa w trójkącie S3 jest geometrycznie wiązką włókien nad wielkim okręgiem, której włókna są wielkimi półkulami. Najbardziej symetryczny obraz stereograficznej projekcji tego pasma do R3 otrzymuje się za pomocą punktu projekcji leżącego na tym wielkim okręgu, który biegnie przez środek każdego z półkoli., Każdy wybór takiego punktu projekcji skutkuje obrazem, który jest zgodny z każdym innym. Ale ponieważ taki punkt projekcji leży na samym paśmie Möbiusa, dwa aspekty obrazu różnią się znacznie od przypadku (zilustrowanego powyżej), gdzie punkt nie znajduje się na paśmie: 1) obraz w R3 nie jest pełnym pasmem Möbiusa, ale raczej pasmem z jednym punktem usuniętym (z jego linii środkowej); i 2) obraz jest nieograniczony – a ponieważ coraz bardziej oddala się od pochodzenia R3, coraz bardziej przybliża płaszczyznę., Jednak ta wersja obrazu stereograficznego ma grupę 4 symetrii w R3 (jest izomorficzna z grupą 4 Kleina), w porównaniu z przedstawioną powyżej wersją ograniczoną, która ma swoją grupę symetrii unikalną grupę rzędu 2. (Jeśli dozwolone są wszystkie symetrie, a nie tylko izometrie zachowujące orientację R3, liczba symetrii w każdym przypadku podwaja się.)

ale najbardziej geometrycznie symetryczną wersją wszystkich jest pierwotne Pasmo Möbiusa w trójsferze S3, gdzie jego pełna grupa symetrii jest izomorficzna z grupą Lie ' a O (2)., Mając nieskończoną Kardynalność (tę z kontinuum), jest ona znacznie większa niż grupa symetrii dowolnego możliwego osadzenia pasma Möbiusa w R3.

geometria rzutowa

korzystając z geometrii rzutowej, otwarte pasmo Möbiusa można opisać jako zbiór rozwiązań równania wielomianowego. Dodanie nierówności wielomianowej skutkuje zamknięciem pasma Möbiusa. Wiązki te dotyczą Möbiusa do geometrii wiązek liniowych i operacji wysadzania w geometrii algebraicznej.

= {(λ A, λ B): λ ∈ R ∖ { 0 } } ., {\displaystyle = \ {(\lambda A, \ lambda B): \ lambda \ in \ mathbf {R} \ setminus \{0\}\}.}

realizacja otwartego pasma Möbiusa jest dana przez zbiór

m = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1: A x = b y }. {\displaystyle M = \{((x, y),) \ in \ mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}: Ax = By\}., M '= { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , B ≠ 0} = {(x , y , m ) ∈ R 3 : M X = Y}, {\displaystyle {\begin{aligned} M’&=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}: Ax=by,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}: MX=y\},\End{aligned}}}

Gdzie m odpowiada A / B {\displaystyle A/B}.

istnieje realizacja zamkniętego pasma Möbiusa jako podobnego zbioru, ale z dodatkową nierównością do utworzenia granicy:

n = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}