ponad 2000 lat temu grecki matematyk Euklid wymyślił listę pięciu postulatów, na których jego zdaniem należy budować geometrię. Jeden z nich, piąty, był odpowiednikiem stwierdzenia, które wszyscy znamy: że kąty w trójkącie sumują się do 180 stopni. Postulat ten nie wydawał się jednak tak oczywisty jak pozostałe cztery z listy Euklidesa, więc matematycy próbowali go z nich wywnioskować: pokazać, że geometria spełniająca pierwsze cztery postulaty musiałaby być posłuszna piątemu., Ich walka trwała przez wieki, ale ostatecznie nie powiodło się. Znaleźli przykłady geometrii, które nie spełniają piątego postulatu.

geometria sferyczna

geometria sferyczna to geometria na kuli. W geometrii sferycznej euklidesowa idea linii staje się wielkim okręgiem, czyli okręgiem o maksymalnym promieniu rozciągającym się wokół najgrubszej części kuli. Nie jest już prawdą, że suma kątów trójkąta wynosi zawsze 180 stopni., Bardzo małe trójkąty będą miały kąty sumujące się do zaledwie nieco ponad 180 stopni (ponieważ z perspektywy bardzo małego trójkąta powierzchnia kuli jest prawie płaska). Większe Trójkąty będą miały kąty sumujące się do znacznie więcej niż 180 stopni.

jedną z zabawnych rzeczy w długości czasu, jaki zajęło odkrycie geometrii sferycznej jest to, że to geometria utrzymuje się na powierzchni Ziemi!, Ale tak naprawdę nigdy nie zauważamy, ponieważ jesteśmy tak mali w porównaniu do wielkości Ziemi, że jeśli narysujemy trójkąt na ziemi i zmierzymy jego kąty, to suma kątów przekracza 180 stopni jest tak mała, że nie jesteśmy w stanie go wykryć.

sfera ma to, co matematycy nazywają krzywizną dodatnią, a to ma sens intuicyjny., Istnieje jednak inna geometria, która zmierza w przeciwnym kierunku:

geometria hiperboliczna

geometria hiperboliczna nie jest tak łatwa do wizualizacji jak geometria sferyczna, ponieważ nie może być modelowana w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej bez zniekształceń. Jednym ze sposobów wizualizacji jest tzw. dysk Poincarégo.

weź okrągły dysk, taki jak ten ograniczony niebieskim kółkiem na rysunku po prawej stronie, i wyobraź sobie mrówkę w nim żyjącą., W geometrii euklidesowej najkrótsza ścieżka między dwoma punktami wewnątrz tego dysku jest wzdłuż linii prostej. W geometrii hiperbolicznej odległości są mierzone inaczej, więc najkrótsza ścieżka nie jest już wzdłuż prostej euklidesowej, ale wzdłuż łuku okręgu, który styka się z granicą dysku pod kątem prostym, jak ten pokazany na czerwono na rysunku. Mrówka hiperboliczna doświadczałaby ścieżki prostej jako objazdu-woli poruszać się po łuku takiego okręgu.

Trójkąt hiperboliczny, którego boki są łukami tych półkul, ma kąty, które sumują się do mniej niż 180 stopni., Wszystkie czarno-białe kształty na rysunku po lewej stronie to Trójkąty hiperboliczne.

jedną z konsekwencji tej nowej metryki hiperbolicznej jest to, że okrąg graniczny dysku jest nieskończenie daleko od punktu widzenia mrówki hiperbolicznej. Dzieje się tak dlatego, że metryka zniekształca odległości w stosunku do zwykłej euklidesowej. Ścieżki, które mają taką samą długość w metryce euklidesowej, są dłuższe w metryce hiperbolicznej im bliżej są okręgu granicznego., Poniższy rysunek przedstawia rozkład płaszczyzny hiperbolicznej przez zwykłe heptagony. Ze względu na zniekształconą metrykę heptagony są tej samej wielkości w metryce hiperbolicznej. I jak widzimy mrówka musiałaby przemierzać nieskończenie wiele z nich, aby dostać się do okręgu granicznego — jest nieskończenie daleko!

w przeciwieństwie do sfery o dodatniej krzywiźnie, płaszczyzna hiperboliczna jest zakrzywiona ujemnie., Bardzo małe jej obszary mają ten sam typ krzywizny co siodła: w jednym kierunku wyglądają jak Szczyt grzbietu górskiego, a w innym kierunku wyglądają jak dno doliny.

geometria hiperboliczna może wyglądać jak fantazyjny konstrukt matematyczny, ale ma rzeczywiste zastosowania. Kiedy Einstein rozwinął swoją specjalną teorię względności w 1905 roku odkrył, że symetrie geometrii hiperbolicznej były dokładnie tym, czego potrzebował do sformułowania teorii., Dziś matematycy wierzą, że geometria hiperboliczna może pomóc zrozumieć duże sieci, takie jak Facebook lub Internet.

możesz przeczytać więcej o geometrii hiperbolicznej w geometrii nieeuklidesowej i perłach Indra.