w tej sekcji rozważa się reprezentatywne jedno – i dwuwymiarowe przypadki fal stojących. Po pierwsze, przykład ciągów o nieskończonej długości pokazuje, jak identyczne fale poruszające się w przeciwnych kierunkach zakłócają wytwarzanie fal stojących. Następnie dwa przykłady ciągów o skończonej długości z różnymi warunkami brzegowymi pokazują, w jaki sposób warunki brzegowe ograniczają częstotliwości, które mogą tworzyć fale stojące. Następnie przykład fal dźwiękowych w rurze pokazuje, jak te same zasady można zastosować do fal podłużnych o analogicznych warunkach brzegowych.,
fale stojące mogą występować również w rezonatorach dwu – lub trójwymiarowych. Z falami stojącymi na dwuwymiarowych membranach, takich jak głowice perkusyjne, zilustrowane w animacjach powyżej, węzły stają się liniami węzłowymi, liniami na powierzchni, na której nie ma ruchu, które oddzielają regiony wibrujące z przeciwną fazą. Te węzłowe wzory linii nazywane są figurami Chladniego. W rezonatorach trójwymiarowych, takich jak skrzynki dźwiękowe instrumentów muzycznych i rezonatory mikrofalowe, istnieją powierzchnie węzłowe., Ta sekcja zawiera dwuwymiarowy przykład fali stojącej z prostokątną granicą, aby zilustrować, jak rozszerzyć koncepcję na wyższe wymiary.
fala stojąca na nieskończonej długościedytuj
aby rozpocząć, rozważmy ciąg nieskończonej długości wzdłuż osi x, który może być rozciągnięty poprzecznie w kierunku Y.
dla fali harmonicznej poruszającej się w prawo wzdłuż ciągu, przesunięcie ciągu w kierunku y jako funkcji położenia x i czasu t wynosi
y R ( x , T ) = y Max sin ( 2 π x λ − ω t ) ., {\displaystyle y_ {\text{R}} (x, t)=y_ {\text {max}} \ sin \ left ({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).
przesunięcie w kierunku y dla identycznej fali harmonicznej poruszającej się w lewo wynosi
y L ( x , t ) = y max sin ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle y_{\text{L}} (x,t)=y_{\text{Max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda} +\omega t\right),}
gdzie
- ymax jest amplitudą fali.przesunięcie ciągu dla każdej fali,
- ω jest częstotliwością kątową lub równoważnie 2π razy częstotliwością f,
- λ jest długością fali.,
dla identycznych fal prawo – i lewo-podróżujących na tym samym ciągu, całkowite przemieszczenie ciągu jest sumą yr i YL,
y ( x , t ) = y R + Y L = Y max sin ( 2 π x λ − ω t ) + y max sin ( 2 π x λ + ω t ) . {\displaystyle y (x, t)=y_ {\text{R}}+y_ {\text{L}}=y_ {\text {max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda}- \omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda} +\omega t\right).
|
y ( X , t ) = 2 y max sin ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) ., {\displaystyle y (x, t)=2y_ {\text {max}} \ sin \ left ({2\pi x \over \lambda }\right)\cos (\omega t).,26c0″>
|
(1) |
Note that Equation (1) does not describe a traveling wave., W dowolnym położeniu x, y (X, t) po prostu oscyluje w czasie z amplitudą, która zmienia się w kierunku x jako 2 y Max sin (2 π x λ) {\displaystyle 2y_ {\text {max}} \ sin \ left ({2\pi x \over \lambda }\right)} . Animacja na początku tego artykułu przedstawia to, co się dzieje. Ponieważ lewa podróżująca niebieska fala i prawa podróżująca zielona fala zakłócają, tworzą stojącą czerwoną falę, która nie podróżuje, a zamiast tego oscyluje w miejscu.
ponieważ ciąg ma nieskończoną długość, nie ma warunku granicznego dla jego przesunięcia w dowolnym punkcie wzdłuż osi X., W rezultacie fala stojąca może tworzyć się z dowolną częstotliwością.
w miejscach na osi x, które są parzystymi wielokrotnościami ćwierć długości fali,
x=…,-3 λ 2, − λ, – λ 2, 0 , λ 2 , λ, 3 λ 2, … {\displaystyle x=\ldots,- {3\lambda \over 2},\;- \ lambda,\;- {\lambda \ over 2},\;0,\;{\lambda \ over 2},\;\lambda,\; {3\lambda \ over 2}, \ ldots}
amplituda jest zawsze zerowa. Lokalizacje te nazywane są węzłami., W miejscach na osi x, które są nieparzystymi wielokrotnościami ćwierćfalówki
x=…,-5 λ 4, − 3 λ 4, − λ 4 , λ 4 , 3 λ 4, 5 λ 4, … {\displaystyle x=\ldots, − {5\lambda \over 4},\;- {3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\; {\lambda \over 4},\; {3\lambda \over 4},\; {3\lambda \over 4},\; {lambda \ over 4}, \ ldots}
amplituda jest maksymalna, z wartością dwukrotnie większą od amplitudy prawej i lewej fali podróżującej, która zakłóca ten wzór fali stojącej. Lokalizacje te nazywane są anty-węzłami. Odległość między dwoma kolejnymi węzłami lub anty-węzłami wynosi połowę długości fali λ/2.,
fala stojąca na sznurku z dwoma stałymi końcamiedytuj
następnie rozważ sznur ze stałymi końcami Przy x = 0 i X = L. sznur będzie miał pewne tłumienie, ponieważ jest rozciągany przez fale podróżujące, ale załóżmy, że tłumienie jest bardzo małe. Załóżmy, że na stałym końcu x = 0 przyłożona jest siła sinusoidalna, która napędza ciąg w górę iw dół w kierunku y z małą amplitudą przy pewnej częstotliwości f. w tej sytuacji siła napędowa wytwarza falę o ruchu prawostronnym., Ta fala odbija się od prawego ustalonego końca i wraca do lewej, odbija się ponownie od lewego ustalonego końca i wraca do prawej, i tak dalej. Ostatecznie, Stan Stały jest osiągany, gdzie ciąg ma identyczne prawo-i lewo-fale podróży jak w przypadku nieskończonej długości i moc rozpraszana przez tłumienie w ciąg jest równa mocy dostarczanej przez siłę napędową, więc fale mają stałą amplitudę.,
równanie (1) nadal opisuje wzór fali stojącej, który może powstać na tym Ciągu, ale teraz równanie (1) podlega Warunkom brzegowym, w których y = 0 przy X = 0 i x = L, ponieważ ciąg jest stały przy X = L i ponieważ zakładamy, że siła napędowa na stałym końcu x = 0 ma małą amplitudę. Sprawdzanie wartości y na obu końcach,
y (0, t ) = 0, {\displaystyle y(0, t)=0,} y ( L, t ) = 2 y Max sin ( 2 π l λ ) cos ω ( ω T ) = 0. {\displaystyle y (L, t)=2y_ {\text {max}} \ sin \ left ({2\pi l \over \lambda }\right)\cos (\omega T)=0.,}
fale stojące w ciągu – tryb podstawowy i pierwsze 5 harmonicznych.,3f388d7654″>
(2)
n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Jeśli fale poruszają się z prędkością v wzdłuż ciągu, To równoważnie częstotliwość fal stojących jest ograniczona do
f = v λ = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {v} {\lambda}} ={\frac{nv} {2L}}.}
fala stojąca O n = 1 oscyluje z częstotliwością podstawową i ma długość fali dwukrotnie większą od długości struny. Wyższe wartości całkowite n odpowiadają trybom oscylacji zwanym harmonicznymi lub nadtonami. Każda fala stojąca na sznurku będzie miała n + 1 węzłów, w tym stałe końce i N anty-węzły.,
aby porównać węzły tego przykładu z opisem węzłów dla fal stojących w ciągu nieskończonej długości, zauważ, że równanie (2) można przepisać jako
λ = 4 L n, {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{N}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n = 2,4,6,\ldots }
w tej odmianie wyrażenia dla długości fali N musi być parzyste., Mnożenie krzyżowe widzimy, że ponieważ L jest węzłem, jest parzystą wielokrotnością ćwierć długości fali,
L = N λ 4 , {\displaystyle L = {\frac {n \ lambda} {4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n = 2,4,6,\ldots }
ten przykład pokazuje rodzaj rezonansu, a częstotliwości, które wytwarzają fale stojące, można określić jako częstotliwości rezonansowe.
fala stojąca na łańcuchu z jednym stałym endEdit
następnie rozważ ten sam ciąg o długości L, ale tym razem jest on ustawiony tylko na x = 0. Przy x = L ciąg może swobodnie poruszać się w kierunku Y., Na przykład sznurek może być przywiązany przy x = L do pierścienia, który może swobodnie przesuwać się w górę iw dół bieguna. Struna ponownie ma małe tłumienie i jest napędzana przez małą siłę napędową Przy x = 0.
w tym przypadku równanie (1) nadal opisuje wzór fali stojącej, który może powstać na łańcuchu, a łańcuch ma ten sam warunek brzegowy y = 0 przy X = 0. Jednak przy x = L, gdzie ciąg może się swobodnie poruszać, powinien istnieć anty-węzeł o maksymalnej amplitudzie y. dla X = L największa Amplituda y występuje, gdy
sin ( 2 π l λ) = 1., {\displaystyle \ sin \ left ({2 \ pi l \ over \ lambda} \ right) = 1.}
prowadzi to do innego zestawu długości fal niż w przykładzie dwóch stałych końców. Tutaj długość fali stojącej jest ograniczona do
λ = 4 L n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {4L} {N}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots }
{\displaystyle f = {\frac {nv} {4L}}.}
zauważ, że w tym przykładzie N przyjmuje tylko nieparzyste wartości. Ponieważ L jest anty-węzłem, jest nieparzystą wielokrotnością ćwierć długości fali., Tak więc tryb podstawowy w tym przykładzie ma tylko jedną czwartą pełnego cyklu sinusoidalnego-zero Przy x = 0, a pierwszy pik przy x = L-pierwsza harmoniczna ma trzy czwarte pełnego cyklu sinusoidalnego, i tak dalej.
Ten przykład pokazuje również rodzaj rezonansu, a częstotliwości, które wytwarzają fale stojące, nazywane są częstotliwościami rezonansowymi.
fala stojąca w rurzeedytuj
rozważmy falę stojącą w rurze o długości L., Powietrze wewnątrz rury służy jako medium dla podłużnych fal dźwiękowych poruszających się w prawo lub w lewo przez rurę. Podczas gdy fale poprzeczne na sznurku z poprzednich przykładów różnią się prostopadle do kierunku ruchu falowego, fale poruszające się w powietrzu w rurze różnią się pod względem ciśnienia i przesunięcia wzdłużnego wzdłuż kierunku ruchu falowego., Fala propaguje się przez naprzemienne ściskanie i rozszerzanie powietrza w segmentach rury, która wypiera powietrze nieznacznie z pozycji spoczynkowej i przenosi energię do sąsiednich segmentów poprzez siły wywierane przez naprzemienne wysokie i niskie ciśnienie powietrza. Równania przypominające te dla fali na strunie można zapisać dla zmiany ciśnienia Δp spowodowanej falą poruszającą się w prawo lub w lewo w rurze.,
Δ P R ( x , t ) = P max sin ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,T)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ P L ( x , t ) = P max sin ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta P_{\text{L}}(x,T)=P_{\text{Max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\Omega t\right),}
gdzie
- Pmax jest amplitudą ciśnienia lub maksymalnym wzrostem lub spadkiem ciśnienia powietrza z powodu każdej fali,
- ω jest częstotliwością kątową lub równoważnie 2π razy częstotliwością f,
- λ jest długością fali.,
Jeśli identyczne prawe i lewe fale poruszają się przez rurę, otrzymana superpozycja jest opisana sumą
Δ p ( x , t ) = Δ P R ( x , t ) + Δ P L ( x , t ) = 2 P max sin ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) . {\displaystyle \ Delta p (x, t)= \ Delta P_ {\text{R}} (x,t)+\Delta P_{\text{L}} (x,T)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda} \right)\cos(\omega t).}
zauważ, że ten wzór na ciśnienie ma taką samą postać jak równanie (1), więc powstaje stacjonarna fala ciśnienia, która jest stała w przestrzeni i oscyluje w czasie.,
Jeśli koniec rury jest zamknięty, ciśnienie jest maksymalne, ponieważ zamknięty koniec rury wywiera siłę, która ogranicza ruch powietrza. Odpowiada to anty-węzłowi ciśnieniowemu. Jeśli koniec rury jest otwarty, zmiany ciśnienia są bardzo małe, co odpowiada węzłowi ciśnieniowemu. Dokładna lokalizacja węzła ciśnieniowego na otwartym końcu jest w rzeczywistości nieco poza otwartym końcem rury, więc efektywna długość rury do celów określania częstotliwości rezonansowych jest nieco dłuższa niż jej długość fizyczna. Ta różnica w długości jest ignorowana w tym przykładzie., Jeśli chodzi o odbicia, otwarte końce częściowo odbijają fale z powrotem do rury, umożliwiając uwolnienie pewnej energii do powietrza zewnętrznego. Idealnie, zamknięte końce odzwierciedlają całą falę z powrotem w przeciwnym kierunku.
najpierw rozważ fajkę otwartą na obu końcach, na przykład fajkę otwartą na organy lub dyktafon.,ds, warunki brzegowe są analogiczne do Ciągu z dwoma stałymi końcami,
Δ P ( 0, t ) = 0, {\displaystyle \Delta P(0, t)=0,} Δ P ( L, T ) = 2 P max sin sin ( 2 π l λ ) cos cos ( ω T ) = 0, {\displaystyle \Delta P(L, T)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi l \over \lambda }\right)\cos(\omega T)=0,}
która występuje tylko wtedy, gdy długość fali stojącej wynosi
λ = 2 l n, {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n = 1,2,3,\ldots,}
lub równoważnie, gdy częstotliwość wynosi
f = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {NV}{2L}},}
Gdzie v jest prędkością dźwięku.,
następnie rozważmy rurę, która jest otwarta i dlatego ma węzeł ciśnieniowy Przy x = 0 i zamknięty, a zatem ma węzeł ciśnieniowy przy x = L. przykłady obejmują butelkę i klarnet. Ta rura ma warunki brzegowe analogiczne do sznurka z tylko jednym stałym końcem. Fale stojące mają długość fali ograniczoną do
λ = 4 L n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {4L} {N}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots,}
lub równoważnie częstotliwość fal stojących jest ograniczona do
f = n v 4 L . {\displaystyle f = {\frac {nv} {4L}}.,}
zauważ, że w przypadku, gdy jeden koniec jest zamknięty, n przyjmuje tylko nieparzyste wartości, tak jak w przypadku ciągu ustalonego tylko na jednym końcu.
molekularna reprezentacja fali stojącej z n = 2 dla rury zamkniętej na obu końcach. Biorąc pod uwagę przesunięcie wzdłużne, należy zauważyć, że cząsteczki na końcach i cząsteczki w środku nie są wypierane przez falę, reprezentując węzły przesunięcia wzdłużnego. W połowie drogi między węzłami znajdują się podłużne anty-węzły przesunięcia, w których cząsteczki są maksymalnie przesunięte., Biorąc pod uwagę ciśnienie, należy zauważyć, że cząsteczki są maksymalnie ściśnięte i rozszerzone na końcach i w środku, reprezentując ciśnienie anty-węzły. W połowie drogi między anty-węzłami są węzły ciśnieniowe, w których cząsteczki nie są ani ściśnięte, ani rozszerzone, gdy się poruszają.
do tej pory fala została zapisana pod względem ciśnienia jako funkcja pozycji x i czasu., Alternatywnie, fala może być zapisana w kategoriach jej wzdłużnego przemieszczenia powietrza, gdzie powietrze w segmencie rury porusza się w przód iw tył lekko w kierunku x, gdy ciśnienie zmienia się, a fale poruszają się w jednym lub obu kierunkach. Zmiana ciśnienia Δp i przesunięcie wzdłużne s są związane jako
Δ p=-ρ v 2 ∂ s x x , {\displaystyle \Delta P = – \Rho V^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}
Gdzie ρ jest gęstością powietrza., Pod względem przesunięcia wzdłużnego zamknięte końce rur odpowiadają węzłom, ponieważ ruch powietrza jest ograniczony, a otwarte końce odpowiadają anty-węzłom, ponieważ powietrze może się swobodnie poruszać. Podobne, łatwiejsze do wizualizacji zjawisko występuje w falach podłużnych propagujących się wzdłuż sprężyny.
możemy również rozważyć rurę zamkniętą na obu końcach. W tym przypadku oba końce będą węzłami przeciwciśnieniowymi lub równoważnie oba końce będą węzłami przemieszczenia., Ten przykład jest analogiczny do przypadku, gdy oba końce są otwarte, z tym wyjątkiem, że wzór fali stojącej ma przesunięcie fazowe π⁄2 wzdłuż kierunku x, aby przesunąć położenie węzłów i anty-węzłów. Na przykład najdłuższa długość fali, która rezonuje–tryb podstawowy – jest ponownie dwukrotnie dłuższa niż długość rury, z wyjątkiem tego, że końce rury mają przeciwzakłóceniowe ciśnienie zamiast węzłów ciśnieniowych. Pomiędzy końcami znajduje się jeden węzeł ciśnieniowy., W przypadku dwóch zamkniętych końców długość fali jest ponownie ograniczona do
λ = 2 L n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {2L} {N}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n = 1,2,3,\ldots,}
i częstotliwość jest ponownie ograniczona do
f = n v 2 L . {\displaystyle f = {\frac {nv} {2L}}.}
rura Rubensa umożliwia wizualizację zmian ciśnienia fal stojących w rurze z dwoma zamkniętymi końcami.,
2D fala stojąca o prostokątnej granicy
następnie rozważmy fale poprzeczne, które mogą poruszać się wzdłuż dwuwymiarowej powierzchni w obrębie prostokątnej granicy długości Lx w kierunku x i długości Ly w kierunku Y. Przykładem tego typu fali są fale wodne w basenie lub fale na prostokątnym arkuszu, który został pociągnięty napięty. Fale przesuwają powierzchnię w kierunku z, Z = 0 zdefiniowanym jako wysokość powierzchni, gdy jest nieruchoma.,
w dwóch wymiarach i kartezjańskie współrzędne, волновое równanie jest
∂ 2 Z i ∂ T 2 = z 2 ( ∂ 2 Z i ∂ X 2 + ∂ 2 Z i ∂ g 2 ) , {\właściwości styl wyświetlania wartości {\фрац {\partial ^{2}H}{\częściowego T^{2}}}\;=\;z^{2}\w lewo({\złamania {\parcjalne ^{2}H}{\częściowym x^{2}}}+{\фрац {\partial ^{2}H}{\częściowym g^{2}}}\prawej)}
gdzie
- h(X,Y,T) – przemieszczenie powierzchni,
- C-prędkość fali.
aby rozwiązać to równanie różniczkowe, najpierw rozwiążmy jego transformatę Fouriera, z
Z ( x , Y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ Z ( x , y , T ) e − i ω t d t ., {\displaystyle Z (x, y, \ omega) = \ int _{- \infty} ^{\infty} z (x,y,t)e^{- i \ omega t} dt.}
przyjmując transformatę Fouriera równania falowego,
∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = − ω 2 c 2 z ( x , Y, ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2} Z} {\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2} z} {\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}} {c^{2}}} Z(x,y,\omega ).}
jest to problem wartości własnej, gdzie częstotliwości odpowiadają wartościom własnym, które następnie odpowiadają trybom specyficznym dla częstotliwości lub funkcjom własnym. W szczególności jest to postać równania Helmholtza i można go rozwiązać za pomocą rozdzielenia zmiennych., Załóżmy
Z = X (x ) Y (y). {\displaystyle Z = X (x)Y (y).}
dzieląc równanie Helmholtza przez Z,
1 X ( x ) ∂ 2 x ∂ x 2 + 1 Y ( y ) ∂ 2 y ω y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1} {X(x)}} {\frac {\partial ^{2} X} {\partial X^{2}}}+{\frac{1} {Y(y)}} {\frac {\partial ^{2} Y} {\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^ {2}} {c^{2}}}=0.
prowadzi to do dwóch sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych. Termin x jest równy stałej w odniesieniu do x, którą możemy zdefiniować jako
1 X (x ) ∂ 2 x ∂ x 2 = ( i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac{1} {X(x)}} {\frac {\partial ^{2}X} {\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,
rozwiązywanie dla X (x),
X (x ) = A k x e i K x x + B k x e − i k x x . {\displaystyle X (x)=A_ {k_{x}} e^{ik_ {x} X}+B_ {k_{x}} e^{- ik_{x} x}.
ta zależność x jest sinusoidalna-odwołując się do wzoru Eulera – ze stałymi Akx i Bkx wyznaczonymi przez warunki brzegowe., Podobnie, termin y jest równy stałej w odniesieniu do y, którą możemy zdefiniować jako
1 Y ( y ) ∂ 2 y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = K x 2 − ω 2 c 2, {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2} {C^{2}}},}
i relacja dyspersji dla tej fali wynosi zatem
ω = c k x 2 + K Y 2 . {\displaystyle \ omega =c {\sqrt {k_ {x}^{2}+k_ {y}^{2}}}.
rozwiązanie równania różniczkowego dla wyrażenia y,
Y (y ) = C k y e i k y y + D k y E − i k y y . {\displaystyle Y (y)=C_ {k_{y}} e^{ik_ {y}y}+D_ {k_{y}} e^{- ik_{y} y}.,}
mnożąc te funkcje razem i stosując odwrotną transformatę Fouriera,z (X, y, t) jest superpozycją trybów, gdzie każdy tryb jest iloczynem sinusoidalnych funkcji dla x, y i T,
Z ( X , y , t ) ∼ e ± i k x X e ± i k y y E ± i ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_ {x}x}e^{\pm ik_ {y}y}e^{\pm i \ omega t}.}
stałe określające dokładne funkcje sinusoidalne zależą od warunków brzegowych i warunków początkowych., Aby zobaczyć, jak mają zastosowanie warunki brzegowe, rozważ przykład taki jak arkusz, który został pociągnięty napięty, gdzie z (x, y, t) musi być zerowe wokół prostokątnej granicy. Dla zależności x, Z (X,y, t) musi się różnić w taki sposób, że może być zerowe zarówno dla x = 0, jak i x = Lx dla wszystkich wartości y i t.,tion spełniający ten warunek graniczny to
sin k X x , {\displaystyle \sin {k_{X}x},}
z Kx ograniczonym do
k x = n π l x, n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n \ pi} {l_{x}}}, \ quad n = 1,2,3, \ dots}
podobnie zależność y z (x, y, t) musi być zerowa zarówno przy y = 0, jak i y = Ly, co jest spełnione przez
sin k y y , k y = m π l Y , M = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \ sin {k_{y} y}, \ quad k_ {y}={\frac {M \ pi} {l_{y}}},\quad m=1,2,3, \ dots}
ograniczenie liczby fal do tych wartości ogranicza również częstotliwości, które rezonują do
ω = c π ( n L x ) 2 + ( m L y ) 2 ., {\displaystyle\omega =c\pi {\sqrt{\left ({\frac{n} {L_{x}}}\right)^{2}+\left ({\frac{m} {L_{y}}} \ right)^{2}}}.}
Jeśli warunki początkowe dla z(X,y,0) i jego pochodnej czasowej ż(x,y,0) są wybrane tak, że zależność T Jest funkcją cosinusową , to fale stojące dla tego układu przyjmują postać
z ( x , y, t ) = z max sin ( n π x L x ) sin ( m π y l y ) cos ( ω t ) . {\displaystyle z (x, y, t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{l_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right)., N = 1 , 2 , 3 , … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n = 1,2,3, \ dots \ quad m = 1,2,3, \ dots }
tak więc fale stojące wewnątrz tej stałej prostokątnej granicy oscylują w czasie przy pewnych częstotliwościach rezonansowych parametryzowanych przez liczby całkowite n I m. ponieważ oscylują w czasie, nie podróżują, a ich zmienność przestrzenna jest sinusoidalna zarówno w kierunku x, jak i y, tak że spełniają warunki brzegowe. Tryb podstawowy, n = 1 I m = 1, ma pojedynczą antynodę pośrodku prostokąta., Zmienne n I m dają skomplikowane, ale przewidywalne dwuwymiarowe wzory węzłów i antynod wewnątrz prostokąta.
zauważ z relacji dyspersji, że w pewnych sytuacjach różne tryby–czyli różne kombinacje n I m–mogą rezonować z tą samą częstotliwością, mimo że mają różne kształty zależności od x i Y. Na przykład, jeśli granica jest kwadratowa, Lx = Ly, tryby n = 1 I m = 7, n = 7 I m = 1 oraz n = 5 I m = 5 Wszystkie rezonują przy
ω = c π l x 50. {\displaystyle \ omega ={\frac{c\pi} {L_ {x}}} {\sqrt {50}}.}