Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes

sekcja 5-3 : produkt Kropkowy

czasami produkt kropkowy nazywany jest produktem skalarnym. Produkt dot jest również przykładem produktu wewnętrznego i dlatego czasami można go usłyszeć o nazwie produktu wewnętrznego.

oto kilka właściwości produktu dot.

właściwości

dowody tych właściwości są w większości dowodami „obliczeniowymi”, więc zrobimy tylko kilka z nich, a resztę pozostawimy tobie do udowodnienia.,

dowód \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec W\)

dowód : If \(\Vec v\centerdot \vec V = 0\) then \(\vec v = \vec 0\)

możemy wtedy mieć następujące twierdzenie.

twierdzenie

dowód

wzór z tego twierdzenia jest często używany nie do obliczenia iloczynu kropkowego, ale zamiast tego do znalezienia kąta między dwoma wektorami., Należy również zauważyć, że o ile szkic dwóch wektorów w dowodzie dotyczy wektorów dwuwymiarowych, to twierdzenie jest ważne dla wektorów o dowolnym wymiarze (o ile oczywiście mają ten sam wymiar).

zobaczmy przykład tego.

iloczyn kropkowy daje nam bardzo ładną metodę określania, czy dwa wektory są prostopadłe i da inną metodę określania, kiedy dwa wektory są równoległe. Zauważ również, że często użyjemy terminu ortogonalny zamiast prostopadłego.

Jeśli dwa wektory są ortogonalne to wiemy, że kąt między nimi wynosi 90 stopni., Z \(\eqref{eq: eq2}\) wynika, że jeśli dwa wektory są ortogonalne, to

\

Podobnie, jeśli dwa wektory są równoległe, to kąt między nimi wynosi 0 stopni (skierowany w tym samym kierunku) lub 180 stopni (skierowany w przeciwnym kierunku). Po raz kolejny użycie \(\eqref{eq: eq2}\) oznaczałoby, że jedna z poniższych opcji musi być prawdziwa.

\

istnieje kilka fajnych aplikacji produktu dot, jak również, że powinniśmy spojrzeć na.,

projekcje

istnieje ładny wzór na znalezienie projekcji \(\vec b\) na \(\vec a\). Tutaj jest,

zauważ, że musimy również być bardzo ostrożni z zapisem tutaj. Rzut \(\vec a\) na \ (\vec b\) jest podany przez

\

oto przykład.

dla celów porównawczych zróbmy to również na odwrót.

jak widać na dwóch poprzednich przykładach dwie projekcje są różne, więc bądź ostrożny.,

Cosines kierunek

To zastosowanie produktu dot wymaga, że jesteśmy w przestrzeni trójwymiarowej, w przeciwieństwie do wszystkich innych aplikacji, które przyjrzeliśmy się do tego momentu.

oto szkic wektora i kątów kierunkowych.

formuły dla cosinusów kierunku są,

sprawdźmy pierwszy punkt powyżej. Resztę zostawimy do sprawdzenia.

\

oto kilka miłych faktów na temat cosines kierunku.

zróbmy szybki przykład z cosinami kierunkowymi.