można przypomnieć z algebry i rachunku, że funkcja może być jeden do jednego i na, a te właściwości są związane z tym, czy funkcja jest odwracalna. Teraz dokonujemy przeglądu tych ważnych pomysłów. W matematyce zaawansowanej słowo injective jest często używane zamiast one-to-one, a surjective jest używane zamiast onto. Oto dokładne definicje:

Poniżej znajduje się wizualny opis definicji 12.4., W istocie, injective oznacza, że nierówne elementy w A są zawsze wysyłane do nierównych elementów w B. Surjective oznacza, że każdy element B ma strzałkę wskazującą na niego, to znaczy, że jest równy F (a) dla niektórych a w domenie f.

istnieją cztery możliwe kombinacje injective/surjective, które może posiadać funkcja. Jest to zilustrowane poniżej dla czterech funkcji \(a \ rightarrow B\). Funkcje w pierwszej kolumnie są injective, te w drugiej kolumnie nie są injective. Funkcje w pierwszym rzędzie są surjektywne, te w drugim rzędzie nie.,

zauważamy na marginesie, że zgodnie z definicjami funkcja jest surjektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej kodomain jest równy jej zakresowi.

Jak pokazać funkcję \(f : A \rightarrow B\) jest injective:

z tych dwóch podejść, contrapositive jest często najłatwiejszy w użyciu, zwłaszcza jeśli F jest zdefiniowany wzorem algebraicznym. Dzieje się tak dlatego, że podejście kontrapozytywne zaczyna się od równania \(f(A) = f(A')\) i przechodzi do równania \(a = a’\). W algebrze, jak wiadomo, zwykle łatwiej jest pracować z równaniami niż nierównościami.,

Jak pokazać funkcję \(f: A \ rightarrow B\) jest surjective:

Załóżmy, że \(B \in B\).

ćwiczenie \(\PageIndex{1}\)

Let \ (a = \ {1,2,3,4\}\) i \(B = \{A, b, c\}\). Podaj przykład funkcji \(f: A \ rightarrow B\), która nie jest ani injective, ani surjective.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.