meer dan 2000 jaar geleden kwam de Griekse wiskundige Euclides met een lijst van vijf postulaten waarop hij dacht dat meetkunde gebouwd moest worden. Een van hen, de vijfde, was gelijk aan een stelling die we allemaal kennen: dat de hoeken in een driehoek samen 180 graden zijn. Dit postulaat leek echter niet zo voor de hand liggend als de andere Vier op Euclides ‘ lijst, dus probeerden wiskundigen het uit hen af te leiden: om aan te tonen dat een meetkunde die de eerste vier postulaten gehoorzaamt noodzakelijkerwijs de vijfde zou gehoorzamen., Hun strijd duurde eeuwen, maar uiteindelijk faalden ze. Ze vonden voorbeelden van geometrieën die het vijfde postulaat niet gehoorzamen.
sferische geometrie
afbeelding: Lars H. Rohwedder.
sferische meetkunde is meetkunde op een bol. In de sferische meetkunde wordt het Euclidische idee van een lijn een grootcirkel, dat wil zeggen een cirkel met maximale straal die zich uitstrekt over het dikste deel van de bol. Het is niet langer waar dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180 graden is., Zeer kleine driehoeken hebben hoeken die optellen tot iets meer dan 180 graden (omdat, vanuit het perspectief van een zeer kleine driehoek, het oppervlak van een bol bijna vlak is). Grotere driehoeken hebben hoeken die optellen tot veel meer dan 180 graden.
een grappig ding over de lengte van de tijd die het kostte om sferische meetkunde te ontdekken is dat het de meetkunde is die op het oppervlak van de aarde stand houdt!, Maar we merken het nooit echt, omdat we zo klein zijn in vergelijking met de grootte van de aarde dat als we een driehoek op de grond tekenen en de hoeken meten, de hoeveelheid waarmee de som van de hoeken 180 graden overschrijdt zo klein is dat we het niet kunnen detecteren.
de bol heeft wat wiskundigen positieve kromming noemen en dit is intuïtief logisch., Maar er is een andere meetkunde die de dingen in de andere richting neemt:
hyperbolische meetkunde
hyperbolische meetkunde is niet zo gemakkelijk te visualiseren als sferische meetkunde omdat deze niet kan worden gemodelleerd in driedimensionale Euclidische ruimte zonder vervorming. Een manier om het te visualiseren heet de Poincaré disc.
neem een ronde schijf, zoals die wordt begrensd door de blauwe cirkel in de figuur rechts, en stel je een mier voor die erin leeft., In de Euclidische meetkunde is de kortste weg tussen twee punten in die schijf langs een rechte lijn. In de hyperbolische meetkunde worden afstanden anders gemeten, zodat de kortste weg niet langer langs een Euclidische rechte lijn ligt, maar langs de cirkelboog die loodrecht op de grens van de schijf staat, zoals in het rood in de figuur. Een hyperbolische mier zou het rechte pad als een omweg ervaren — hij beweegt liever langs de boog van zo ‘ n cirkel.
een hyperbolische driehoek, waarvan de zijden bogen van deze halve cirkels zijn, heeft hoeken die samen minder dan 180 graden bedragen., Alle zwart-witte vormen in de figuur aan de linkerkant zijn hyperbolische driehoeken.
een gevolg van deze nieuwe hyperbolische metriek is dat de grenscirkel van de schijf oneindig ver verwijderd is van het standpunt van de hyperbolische mier. Dit komt omdat de metriek afstanden vervormt ten opzichte van de gewone Euclidische. Paden die in de Euclidische metriek dezelfde lengte hebben, zijn in de hyperbolische metriek langer naarmate ze dichter bij de grenscirkel staan., De figuur hieronder toont een tegelwerk van het hyperbolische vlak door regelmatige zevenhoeken. Vanwege de vervormde metriek zijn de zevenhoeken allemaal van dezelfde grootte in de hyperbolische metriek. En zoals we kunnen zien zou de mier oneindig veel van hen moeten doorkruisen om bij de grenscirkel te komen — het is oneindig ver weg!
in tegenstelling tot de bol met zijn positieve kromming is het hyperbolische vlak negatief gekromd., Zeer kleine gebieden van het hebben hetzelfde type van kromming als zadels: langs een richting, ze lijken op de top van een bergkam, en langs een andere richting ze lijken op de bodem van een vallei.
afbeelding gemaakt door David Wright.
hyperbolische meetkunde kan eruit zien als een fantasievolle wiskundige constructie, maar het heeft real-life toepassingen. Toen Einstein in 1905 zijn speciale relativiteitstheorie ontwikkelde, ontdekte hij dat de symmetrieën van de hyperbolische meetkunde precies waren wat hij nodig had om de theorie te formuleren., Tegenwoordig geloven wiskundigen dat hyperbolische meetkunde kan helpen om grote netwerken zoals Facebook of het Internet te begrijpen.
u kunt meer lezen over hyperbolische meetkunde in niet-Euclidische meetkunde en Indra ‘ s parels.