(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Als golven met snelheid v langs de snaar reizen, dan is de frequentie van de staande golven op equivalente wijze beperkt tot

f = v λ = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {v} {\lambda }} = {\frac {nv}{2L}}.}

de staande golf met n = 1 oscilleert op de fundamentele frequentie en heeft een golflengte die tweemaal de lengte van de string is. Hogere integer waarden van n komen overeen met modi van oscillatie genoemd harmonischen of boventonen. Elke staande golf op de string heeft n + 1 knooppunten inclusief de vaste uiteinden en n anti-knooppunten.,

om de knooppunten van dit voorbeeld te vergelijken met de beschrijving van knooppunten voor staande golven in de oneindige lengte string, merk op dat Vergelijking (2) kan worden herschreven als

λ = 4 l n, {\displaystyle \ lambda = {\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

in deze variatie van de expressie voor de golflengte moet n even zijn., Kruis vermenigvuldigen we zien dat omdat L een knoop is, het een even veelvoud is van een kwart golflengte,

L = N λ 4, {\displaystyle L={\frac {n \ lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

dit voorbeeld toont een type resonantie en de frequenties die staande golven produceren kunnen worden aangeduid als resonantiefrequenties.

staande golf op een string met een vaste endEdit

beschouw vervolgens dezelfde string van lengte L, maar deze keer is deze alleen gefixeerd op x = 0. Bij x = L is de string vrij om in de y-richting te bewegen., Bijvoorbeeld, de string kan worden gebonden aan x = L aan een ring die vrij kan glijden op en neer een paal. De snaar heeft weer een kleine demping en wordt aangedreven door een kleine aandrijfkracht bij x = 0.

in dit geval beschrijft vergelijking (1) nog steeds het staande golfpatroon dat zich op de string kan vormen, en de string heeft dezelfde randvoorwaarde van y = 0 bij x = 0. Echter, bij x = L waar de string vrij kan bewegen zou er een anti-knoop moeten zijn met maximale amplitude van y. Vergelijkingsvergelijking (1), Voor x = L treedt de grootste amplitude van y op wanneer

sin ⁡ ( 2 π L λ) = 1., {\displaystyle \ sin \ left ({2 \ pi l \ over \ lambda } \ right) = 1.}

Dit leidt tot een andere reeks golflengten dan in het voorbeeld met twee vaste uiteinden. Hier is de golflengte van de staande golven beperkt tot

λ = 4 l n, {\displaystyle \ lambda = {\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots }

op equivalente wijze is de frequentie beperkt tot

f = n v 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}

merk op dat in dit voorbeeld n Alleen oneven waarden aanneemt. Omdat L een anti-knoop is, is het een oneven veelvoud van een kwart golflengte., De fundamentele modus in dit voorbeeld heeft dus slechts een kwart van een volledige sinuscyclus–nul bij x = 0 en de eerste piek bij x = L–de eerste harmonische heeft driekwart van een volledige sinuscyclus, enzovoort.

dit voorbeeld toont ook een type resonantie en de frequenties die staande golven produceren worden resonantiefrequenties genoemd.

staande golf in een leidingdit

beschouw een staande golf in een pijp met lengte L., De lucht in de pijp dient als medium voor longitudinale geluidsgolven reizen naar rechts of links door de pijp. Terwijl de dwarsgolven op de snaar uit de vorige voorbeelden variëren in hun verplaatsing loodrecht op de richting van de golfbeweging, de golven reizen door de lucht in de pijp variëren in termen van hun druk en longitudinale verplaatsing langs de richting van de golfbeweging., De Golf verspreidt zich door afwisselend lucht te comprimeren en uit te breiden in segmenten van de pijp, die de lucht enigszins verplaatst van zijn rustpositie en energie overbrengt naar naburige segmenten door de krachten uitgeoefend door de afwisselende hoge en lage luchtdrukken. Vergelijkingen die lijken op die voor de golf op een snaar kunnen worden geschreven voor de drukverandering Δp als gevolg van een rechts – of linksreizende golf in de pijp.,

Δ p R ( x , t ) = p max zonde ⁡ ( 2 π x λ ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p max zonde ⁡ ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}

waar

• pmax is de druk amplitude of de maximale stijging of daling van de luchtdruk door elke golf,
• ω is de hoek frequentie oftewel 2π maal de frequentie f
• λ is de golflengte van de golf.,

als identieke rechts – en linksreizende golven door de pijp reizen, wordt de resulterende superpositie beschreven door de som

Δ P ( x , t ) = Δ P R ( x , t ) + Δ P L ( x , T ) = 2 p max sin ⁡ ( 2 π X λ ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle \ Delta p (x, t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi X \over \lambda }\right)\cos(\Omega t).}

merk op dat deze formule voor de druk dezelfde vorm heeft als Vergelijking (1), dus vormt zich een stationaire drukgolf die in de ruimte is gefixeerd en in de tijd oscilleert.,

indien het uiteinde van een leiding gesloten is, is de druk maximaal omdat het gesloten uiteinde van de leiding een kracht uitoefent die de beweging van lucht beperkt. Dit komt overeen met een druk anti-knoop. Als het uiteinde van de pijp open is, zijn de drukvariaties zeer klein, overeenkomend met een drukknoop. De exacte locatie van de drukknoop aan een open einde is eigenlijk iets voorbij het open einde van de buis, zodat de effectieve lengte van de buis voor het bepalen van resonantiefrequenties is iets langer dan de fysieke lengte. Dit verschil in lengte wordt in dit voorbeeld genegeerd., In termen van reflecties, open uiteinden reflecteren gedeeltelijk golven terug in de pijp, waardoor wat energie kan worden vrijgegeven in de buitenlucht. Idealiter reflecteren gesloten uiteinden de hele golf terug in de andere richting.

overweeg eerst een pijp die aan beide uiteinden open is, bijvoorbeeld een open orgelpijp of een blokfluit.,ds, de randvoorwaarden zijn analoog aan de string met twee vaste uiteinden,

Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max zonde ⁡ ( 2 π L λ ) cos ⁡ ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega ‘ t)=0,}

die treedt alleen op als de golflengte van de staande golven is

λ = 2 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {2 L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

oftewel wanneer de frequentie

f = n i n g v 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}

waar v is de snelheid van het geluid.,

overweeg vervolgens een pijp die open is en daarom een drukknoop heeft bij x = 0 en gesloten en daarom een drukantiknoop heeft bij x = L. voorbeelden zijn een fles en een klarinet. Deze pijp heeft randvoorwaarden analoog aan de snaar met slechts één vast uiteinde. De staande golven zijn beperkt tot

λ = 4 l n, {\displaystyle \ lambda = {\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n = 1,3,5,\ldots,}

of gelijkwaardig de frequentie van staande golven is beperkt tot

f = n v 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.,}

merk op dat Voor het geval waarin één einde is gesloten, n Alleen oneven waarden neemt, net als in het geval van de string die aan slechts één einde is bevestigd.

tot nu toe is de Golf geschreven in termen van zijn druk als functie van positie x en tijd., Als alternatief kan de golf worden geschreven in termen van de longitudinale verplaatsing van lucht, waar lucht in een segment van de pijp beweegt heen en weer licht in de x-richting als de druk varieert en golven reizen in een of beide richtingen. De verandering in druk Δp en longitudinale verplaatsing s zijn gerelateerd als

Δ p − – ρ v 2 ∂ s ∂ x, {\displaystyle \ Delta p=- \ rho v^{2} {\frac {\partial s} {\partial x}},}

waarbij ρ de dichtheid van de lucht is., In termen van longitudinale verplaatsing, gesloten uiteinden van leidingen corresponderen met knooppunten omdat lucht beweging is beperkt en open uiteinden corresponderen met anti-knooppunten omdat de lucht vrij is om te bewegen. Een soortgelijk, gemakkelijker te visualiseren fenomeen treedt op in longitudinale golven die zich langs een veer voortplanten.

We kunnen ook een pijp beschouwen die aan beide uiteinden gesloten is. In dit geval zullen beide uiteinden drukantiknopen zijn of op equivalente wijze zullen beide uiteinden verplaatsingsknopen zijn., Dit voorbeeld is analoog aan het geval waar beide uiteinden open zijn, behalve dat het staande golfpatroon een π ⁄ 2 faseverschuiving heeft langs de x-richting om de locatie van de knooppunten en anti-knooppunten te verschuiven. Bijvoorbeeld, de langste golflengte die resoneert-de fundamentele modus-is opnieuw tweemaal de lengte van de pijp, behalve dat de uiteinden van de pijp hebben druk anti-knooppunten in plaats van druk knooppunten. Tussen de uiteinden is er één drukknoop., In het geval van twee gesloten uiteinden is de golflengte opnieuw beperkt tot

λ = 2 L n, {\displaystyle \ lambda = {\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n = 1,2,3,\ldots,}

en de frequentie is opnieuw beperkt tot

f = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}

een Rubens-buis biedt een manier om de drukvariaties van de staande golven in een buis met twee gesloten uiteinden te visualiseren.,

2D staande golf met een rechthoekige boundaryEdit

overweeg vervolgens transversale golven die langs een tweedimensionaal oppervlak kunnen bewegen binnen een rechthoekige grens van lengte Lx in de x-richting en lengte Ly in de y-richting. Voorbeelden van dit type golf zijn watergolven in een zwembad of golven op een rechthoekige plaat die strak is getrokken. De golven verplaatsen het oppervlak in de z-richting, met z = 0 gedefinieerd als de hoogte van het oppervlak als het stilstaat.,

In twee dimensies en Cartesische coördinaten, de golfvergelijking is

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}

waar

• z(x,y,t) is de verplaatsing van het oppervlak
• c is de snelheid van de golf.

om deze differentiaalvergelijking op te lossen, laten we eerst oplossen voor zijn fouriertransformatie, met

Z ( x , y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) e − I ω t d t ., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z (x,y,t)e^{-I\Omega t}dt.}

uitgaande van de fouriertransformatie van de golfvergelijking,

∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = − ω 2 c 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z} {\partial x^{2}}} + {\frac {\partial ^{2}Z} {\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}} Z (x, y,\Omega).}

Dit is een eigenwaardeprobleem waarbij de frequenties corresponderen met eigenwaarden die vervolgens corresponderen met frequentie-specifieke modi of eigenfuncties. Specifiek is dit een vorm van de Helmholtz vergelijking en het kan worden opgelost met behulp van scheiding van variabelen., Neem aan

Z = X (x ) Y (y ) . {\displaystyle Z=X (x)Y (y).}

De vergelijking Helmholtz delen door Z,

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 Y (y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X (x)}} {\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

Dit leidt tot twee gekoppelde gewone differentiaalvergelijkingen. De term x is gelijk aan een constante met betrekking tot x die we kunnen definiëren als

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 = (i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X (x)}} {\frac {\partial ^{2}X} {\partial x^{2}}} = (ik_{x})^{2}.,}

oplossen voor X (x),

X ( x) = A k x e i k x x + B k x e − i k x x . {\displaystyle X (x) = A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

Deze x-afhankelijkheid is sinusoïdaal-herinnerend aan de formule van Euler–met constanten Akx en Bkx bepaald door de randvoorwaarden., Evenzo is de term y gelijk aan een constante met betrekking tot y die we kunnen definiëren als

1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2, {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

en de dispersierelatie voor deze golf is daarom

ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \ Omega = c {\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

het oplossen van de differentiaalvergelijking voor de Y-term,

Y ( y) = C k Y e i k y y + D k Y e − i k y y . {\displaystyle Y(y) = C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

door deze functies samen te vermenigvuldigen en de inverse fouriertransformatie toe te passen, is z(x,y,t) een superpositie van modi waarbij elke modus het product is van sinusoïdale functies voor x, y en t,

z ( x, y , t ) ∼ e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z (x, y, t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\Omega t}.}

de constanten die de exacte sinusoïdale functies bepalen, hangen af van de randvoorwaarden en de beginomstandigheden., Om te zien hoe de randvoorwaarden van toepassing zijn, overweeg een voorbeeld als het blad dat is getrokken strak waar z(x,y,t) moet nul rondom de rechthoekige grens. Voor de x-afhankelijkheid moet z(x, y,t) zo variëren dat het nul kan zijn bij zowel x = 0 als x = Lx voor alle waarden van y en t.,tie die voldoet aan deze randvoorwaarde is

zonde ⁡ k x x {\displaystyle \sin {k_{x}x},}

met kx beperkt tot

k x = n π L x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }

Ook de y afhankelijkheid van z(x,y,t) moet nul zijn om zowel y = 0 en y = Ly, die is vervuld door

zonde ⁡ k y y , k) y = m π L y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }

het Beperken van de wave nummers tot deze waarden beperkt de frequenties die onderschrijf

ω = c π ( n-L-x ) 2 + ( m-L-y ) 2 ., {\displaystyle \Omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{l_{y}}}\right)^{2}}}.}

als de beginvoorwaarden voor z(x,y,0) en zijn tijdderivaat ż(x,y,0) worden gekozen zodat de T-afhankelijkheid een cosinusfunctie is, dan nemen staande golven voor dit systeem de vorm

z ( x , y , t) = Z max sin ⁡ ( n π X L x ) sin ⁡ ( m π y L y) cos ⁡ ( ω t). {\displaystyle z (X, y, t) = z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1, 2, 3, … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n = 1,2,3, \ dots \ quad m=1,2,3,\dots }

dus, staande golven binnen deze vaste rechthoekige grens oscilleren in de tijd bij bepaalde resonantiefrequenties geparametreerd door de gehele getallen n en m. als ze oscilleren in de tijd, reizen ze niet en hun ruimtelijke variatie is sinusoïdaal in zowel de x – als y-richtingen, zodat ze voldoen aan de randvoorwaarden. De fundamentele modus, n = 1 en m = 1, heeft een enkele antinode in het midden van de rechthoek., Het variëren van n en m geeft ingewikkelde maar voorspelbare tweedimensionale patronen van knooppunten en antinodes binnen de rechthoek.

merk op uit de dispersierelatie dat in bepaalde situaties verschillende modi–dat wil zeggen verschillende combinaties van n en m–met dezelfde frequentie kunnen resoneren, ook al hebben ze verschillende vormen voor hun X – en y-afhankelijkheid. Bijvoorbeeld als de grens vierkant is, LX = Ly, de modi n = 1 en m = 7, n = 7 en m = 1, en n = 5 en M = 5 resoneren allemaal bij

ω = c π L x 50 . {\displaystyle \ omega = {\frac {c \ pi }{L_{x}}} {\sqrt {50}}.}