alle gewone enkelvoudige veelhoeken (een eenvoudige veelhoek is er een die zichzelf nergens snijdt) zijn convex. Degenen met hetzelfde aantal zijden zijn ook vergelijkbaar.

Een n-zijdige convexe regelmatige veelhoek wordt aangeduid met het Schläfli-symbool {n}. Voor n < 3 hebben we twee gedegenereerde gevallen:

Monogon {1} gedegenereerd in de gewone ruimte. (De meeste autoriteiten beschouwen de monogon niet als een echte veelhoek, deels vanwege dit, en ook omdat de formules hieronder niet werken, en de structuur is niet die van een abstracte veelhoek.,) Digon {2}; een” dubbel lijnsegment ” ontaardt in de gewone ruimte. (Sommige autoriteiten beschouwen de digon daarom niet als een echte veelhoek.)

in bepaalde contexten zullen alle onderzochte polygonen regelmatig zijn. In dergelijke omstandigheden is het gebruikelijk om het voorvoegsel regelmatig te laten vallen. Bijvoorbeeld, alle gezichten van uniforme veelvlakken moeten regelmatig zijn en de gezichten zullen eenvoudig beschreven worden als driehoek, vierkant, Vijfhoek, enz.,

AnglesEdit

voor een regelmatige convexe n-gon heeft elke inwendige hoek Een maat van:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} graden; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radialen; of ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n})-2)} {2N}}} volledige draaien,

als n oneindig nadert, nadert de interne hoek 180 graden. Voor een regelmatige veelhoek met 10.000 zijden (een myriagon) is de interne hoek 179,964°. Als het aantal zijden toeneemt, kan de interne hoek heel dicht bij 180° komen, en de vorm van de veelhoek nadert die van een cirkel., De veelhoek kan echter nooit een cirkel worden. De waarde van de inwendige hoek kan nooit precies gelijk worden aan 180°, omdat de omtrek effectief een rechte lijn zou worden. Om deze reden is een cirkel geen veelhoek met een oneindig aantal zijden.

Diagonaledit

voor een regelmatige n-gon die is ingeschreven in een eenheidsradiuscirkel, is het product van de afstanden van een gegeven top tot alle andere hoekpunten (inclusief aangrenzende hoekpunten en hoekpunten verbonden door een diagonaal) gelijk aan n.,

punten in het planedit

voor een gewone enkelvoudige n-gon met circumradius R en afstanden di van een willekeurig punt in het vlak tot de hoekpunten, hebben we

∑ i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i = 1}^{n}d_{i}^{4}} {n}}+3R^{4} = \ left ({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\som _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2}}{\binom {2}{k}}R^{2}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

en

S n ( 2 m ) = ( n ( 2 ) ) m + water k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k) k ) ( S-n ( 4 ) − ( S n ( 2 ) ) 2 ) k ( En n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\som _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2}}{\binom {2}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

waar is m {\displaystyle m} is een positief geheel getal kleiner dan n {\displaystyle n} .,

Als L {\displaystyle L} is de afstand van een willekeurig punt in het vliegtuig naar het zwaartepunt van een regelmatige n {\displaystyle n} -gon met circumradius R {\displaystyle R} , en klik vervolgens op

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k ) R 2 k L 2 k ( k 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \som _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\som _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2}{k}}R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,

waar is m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Interieurpunten edit

voor een regelmatige n-gon is de som van de loodrechte afstanden van elk interieurpunt tot de n-zijden n maal de apotheker: p. 72 (de apotheker is de afstand van het midden tot elke zijde). Dit is een veralgemening van de stelling van Viviani voor het geval n=3.,hen, en een oppervlakte van regelmatige veelhoeken van n zijden en circumradius 1, met de basis, b van een rechthoek met dezelfde oppervlakte – de groene lijn toont het geval n = 6

De circumradius R van het centrum van een regelmatige veelhoek tot één van de hoekpunten is in verband met de lengte van de zijde van de s of de apothem een door

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

Voor bebouwbaar polygonen, algebraïsche uitdrukkingen voor deze relaties bestaan; zie Bicentric polygon#Regelmatige veelhoeken.,

De som van de loodlijnen van de hoekpunten van een regelmatige n-gon tot een raaklijn aan de omcirkel is gelijk aan n maal de circumradius.P. 73

De som van de kwadraatafstanden van de hoekpunten van een regelmatige n-gon tot enig punt op zijn omcirkel is gelijk aan 2nR2 waarbij R de circumradius is.: p.73

De som van de kwadraatafstanden van de middelpunten van de zijden van een regelmatige n-gon tot enig punt op de omcirkel is 2nR2 − ns2/4, waarbij s de lengte van de zijde is en R de circumradius.:p., 73

3 (∑ i = 1 n d i 2) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3 (\sum _{i = 1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n \ sum _{i = 1}^{n}d_{i}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter stelt dat elke zonogon (een 2m-gon waarvan de tegenoverliggende zijden parallel en van gelijke lengte zijn) kan worden ontleed in ( n 2) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} of M(m-1)/2 parallelogrammen.Deze tegels zijn opgenomen als deelverzamelingen van hoekpunten, randen en zijden in orthogonale projecties m-kubussen.,Dit geldt in het bijzonder voor regelmatige veelhoeken met gelijkmatig vele zijden, in welk geval de parallelogrammen allemaal rhombi zijn.De lijst OEIS: A006245 geeft het aantal oplossingen voor kleinere veelhoeken.,f een regelmatige convexe n-zijdige veelhoek met kant s, circumradius R, apothem een, en de omtrek p wordt gegeven door

A = 1 2 n s a = 1 2 p a = 1 4 n n 2 kinderbedje ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

van alle n-gons met een gegeven omtrek, is degene met de grootste oppervlakte regelmatig.