elementaire proofEdit
stel P(p/q) = 0 voor sommige coprime p, q ∈ ℤ:
p ( p q ) = n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + A 1 ( p Q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P ({\tfrac {p}{q}}) \ = \a_{n} ({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1} ({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1} ({\tfrac {p}{q}})+a_{0} \ = \ 0.}
om noemers te wissen,
N p N + A n − 1 p n − 1 q + ⋯ + a 1 p q n − 1 + A 0 q N = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{N}=0.,}
het verschuiven van de A0-term naar de rechterkant en het optellen van p aan de linkerkant levert:
p ( a n p n − 1 + a N − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q N − 1 ) = − A 0 q N . {\displaystyle p \ left (a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{N-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
dus deelt p a0qn. Maar p is coprime tot q en dus tot qn, dus door Euclides lemma moet P de resterende factor a0 delen.
aan de andere kant levert het verschuiven van de An − term naar de rechterkant en het afrekenen van q aan de linkerkant:
q ( a n − 1 p n − 1 + a N − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q N − 1) = – a n p n ., {\displaystyle q \ left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)= – a_{n}p^{n}.}
redenerend als voorheen, volgt hieruit dat q verdeelt an.
bewijs met behulp van Gauss ‘lemmaEdit
indien er een niet-triviale factor is die alle coëfficiënten van de veelterm deelt, dan kan men delen door de grootste gemeenschappelijke deler van de coëfficiënten om zo een primitieve veelterm in de zin van Gauss’ lemma te verkrijgen; dit verandert de verzameling van rationele wortels niet en versterkt alleen de deelbaarheidsvoorwaarden., Dat lemma zegt dat als de veeltermfactoren in Q, dan ook factoren in Z als een product van primitieve veeltermen. Nu komt elke rationele wortel p/q overeen met een factor van graad 1 in Q van de veelterm, en zijn primitieve vertegenwoordiger is dan qx − p, aangenomen dat p en q coprime zijn. Maar elk veelvoud in Z van qx-p heeft leidende term deelbaar door q en constante term deelbaar door p, wat de stelling bewijst., Dit argument toont aan dat meer in het algemeen elke irreducible factor van P kan worden verondersteld gehele coëfficiënten te hebben, en leidende en constante coëfficiënten die de overeenkomstige coëfficiënten van P.
delen